Connecendo o valor de \operatorname{sen} x=3 / 5 e x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right], calcule o valor numerico da expressão \binom{\operatorname{sec} ^{2} x \cdot \operatorname{cotg} x-\operatorname{cossec} x \cdot \operatorname{tg} x}{6 \cdot \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{cossec}^{2} x}.

Passo 1

O enunciado dá o valor de \operatorname{sen}x=\tfrac{3}{5} e informa que x\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]. Pede para calcular o valor numérico da expressão (interpreto a expressão como uma fração, com numerador e denominador):
\frac{\operatorname{sec}^{2}x\cdot\cot x-\csc x\cdot\tan x}{6\cdot\sin x\cdot\csc^{2}x}.
Informações relevantes fornecidas:
\sin x=\tfrac{3}{5},\qquad x\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
Observação: por estar em \left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] temos \cos x>0, \tan x>0, etc.

Passo 2

Vamos achar \cos x a partir de \sin x usando a identidade pitagórica. A identidade é:
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
onde \sin^{2}x significa (\sin x)^{2} e \cos^{2}x significa (\cos x)^{2}. Substituindo \sin x=\tfrac{3}{5} temos:
\cos^{2}x=1-\sin^{2}x=1-\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}=1-\tfrac{9}{25}=\tfrac{16}{25}.
Como x está no primeiro quadrante, \cos x é positivo, então
\cos x=\sqrt{\tfrac{16}{25}}=\tfrac{4}{5}.

Passo 3

Agora calculamos as razões trigonométricas recíprocas e as razões dependentes:
Definições importantes (explicando como usar na prova):
  • \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}.
  • \cot x=\dfrac{1}{\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • \csc x=\dfrac{1}{\sin x}.
    Usando \sin x=\tfrac{3}{5} e \cos x=\tfrac{4}{5}:
\tan x=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4},
\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{4}{3},
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}=\frac{5}{4},
\csc x=\frac{1}{\sin x}=\frac{5}{3}.
Também precisaremos de \operatorname{sec}^{2}x e \csc^{2}x:
\operatorname{sec}^{2}x=\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16},
\csc^{2}x=\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}.

Passo 4

Calcule o primeiro termo do numerador: \operatorname{sec}^{2}x\cdot\cot x.
Substituindo os valores:
\operatorname{sec}^{2}x\cdot\cot x=\frac{25}{16}\cdot\frac{4}{3}.
Fazendo a multiplicação e simplificando:
\frac{25}{16}\cdot\frac{4}{3}=\frac{25\cdot 4}{16\cdot 3}=\frac{100}{48}=\frac{25}{12}.
(Expliquei: para simplificar, dividi numerador e denominador por 4.)

Passo 5

Calcule o segundo termo do numerador: \csc x\cdot\tan x.
Substituindo:
\csc x\cdot\tan x=\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{4}.
Multiplicando e simplificando:
\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{5\cdot 3}{3\cdot 4}=\frac{5}{4}.
(Os \,3's se cancelam.)

Passo 6

Agora o numerador inteiro é:
\operatorname{sec}^{2}x\cdot\cot x-\csc x\cdot\tan x=\frac{25}{12}-\frac{5}{4}.
Fazendo a subtração com denominador comum 12:
\frac{25}{12}-\frac{5}{4}=\frac{25}{12}-\frac{15}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}.

Passo 7

Calcule o denominador: 6\cdot\sin x\cdot\csc^{2}x.
Substituindo \sin x=\tfrac{3}{5} e \csc^{2}x=\tfrac{25}{9}:
6\cdot\sin x\cdot\csc^{2}x=6\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{25}{9}.
Multiplicando e simplificando passo a passo:
6\cdot\frac{3}{5}=\frac{18}{5},
\frac{18}{5}\cdot\frac{25}{9}=\frac{18\cdot 25}{5\cdot 9}=\frac{450}{45}=10.

Passo 8

Agora formamos a fração total usando numerador e denominador calculados:
\frac{\operatorname{sec}^{2}x\cdot\cot x-\csc x\cdot\tan x}{6\cdot\sin x\cdot\csc^{2}x}=\frac{\tfrac{5}{6}}{10}=\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{10}=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}.

Resposta

\tfrac{1}{12}

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