Considerando o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(-x, 4 x-y, 2 x+3 z), determine:
(d) (L. I. Di) Os autovetores de T.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-x,\;4x-y,\;2x+3z).
A pergunta (parte (d)) é: "Os autovetores de T".
Informações relevantes fornecidas:
A regra de T aplicada a um vetor (x,y,z) está explícita acima.
Preciso encontrar todos os vetores não nulos v\in\mathbb{R}^3 tais que T(v)=\lambda v para algum escalar \lambda (os autovalores correspondentes aparecem naturalmente durante o processo).
Passo 2
Vou lembrar rapidamente o que é um autovetor/autovalor (pra gente ficar alinhado).
Definição: um vetor não nulo v é autovetor de T se existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
T(v)=\lambda v.
Esse \lambda é chamado autovalor. Procedimento padrão para achar os autovetores:
Escrever a matriz A de T na base canônica.
Calcular os autovalores resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor \lambda, resolver (A-\lambda I)v=0 para obter o espaço próprio (autovetores associados).
Passo 3
Vamos montar a matriz A de T na base canônica. Aplicando T aos vetores da base:
T(1,0,0)=(-1,4,2) — isso é a primeira coluna de A.
Note que todos os elementos acima da diagonal são zero (é uma matriz triangular inferior), e para matrizes triangulares o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Logo
Da primeira equação vem x=0\]. Substituindo em segunda: \(-4y=0 então y=0. A terceira equação verifica-se automaticamente com x=0. Assim x=0,\;y=0 e z é livre.]
Passo 7
Portanto os autovetores correspondentes a \lambda=3 são todos os múltiplos de
(0,0,1).
Em notação de espaço próprio:
E_{3}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Passo 8
Agora achamos os autovetores associados a \lambda=-1\). Resolvemos \((A+I)v=0\) (pois \(A-(-1)I=A+I\)). A matriz é
\[A+I= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Da segunda equação vem 4x=0\Rightarrow x=0\]. Substituindo na terceira: \(4z=0\Rightarrow z=0. A primeira equação não dá informação. Assim x=0,\;z=0 e y é livre.]
Passo 9
Logo os autovetores correspondentes a \lambda=-1 são todos os múltiplos de
(0,1,0).
Em notação de espaço próprio:
E_{-1}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.
Observação rápida (útil para a prova): embora \lambda=-1 tenha multiplicidade algébrica 2, o espaço próprio tem dimensão 1 (multiplicidade geométrica 1) — isto é importante se algum dia perguntarem sobre diagonalizabilidade.