Considerando o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(-x, 4 x-y, 2 x+3 z), determine:
(k) (C.ID) A matriz canônica associada ao operador T.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-x,\;4x-y,\;2x+3z).
A pergunta é: determinar a matriz canônica (isto é, a matriz da transformação na base canônica de \mathbb{R}^3) associada a T.
Passo 2
Primeiro, lembro o que é a base canônica de \mathbb{R}^3: são os vetores
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Regra prática (muito importante na prova): a matriz da transformação linear T na base canônica tem como colunas as imagens T(e_1),T(e_2),T(e_3) expressas em coordenadas da base canônica. Vou mostrar por que na prática: aplicar a matriz a um vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} corresponde a combinar linearmente as colunas com coeficientes x,y,z, que é exatamente o efeito de T por linearidade.
Passo 3
Calculo agora as imagens dos vetores da base canônica usando a definição de T.