Considerando o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(-x, 4 x-y, 2 x+3 z), determine:
(k) (C.ID) A matriz canônica associada ao operador T.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definido por
T(x,y,z)=(-x,\;4x-y,\;2x+3z).
A pergunta é: determinar a matriz canônica (isto é, a matriz da transformação na base canônica de \mathbb{R}^3) associada a T.

Passo 2

Primeiro, lembro o que é a base canônica de \mathbb{R}^3: são os vetores
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
Regra prática (muito importante na prova): a matriz da transformação linear T na base canônica tem como colunas as imagens T(e_1),T(e_2),T(e_3) expressas em coordenadas da base canônica. Vou mostrar por que na prática: aplicar a matriz a um vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} corresponde a combinar linearmente as colunas com coeficientes x,y,z, que é exatamente o efeito de T por linearidade.

Passo 3

Calculo agora as imagens dos vetores da base canônica usando a definição de T.
Calcule T(e_1)=T(1,0,0):
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& -x = -1,\\\ \text{2ª componente: }& 4x-y = 4\cdot 1 - 0 = 4,\\\ \text{3ª componente: }& 2x+3z = 2\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2. \end{aligned}ªªª
Logo T(e_1)=(-1,\,4,\,2).
Calcule T(e_2)=T(0,1,0):
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& -x = 0,\\\ \text{2ª componente: }& 4x-y = 4\cdot 0 - 1 = -1,\\\ \text{3ª componente: }& 2x+3z = 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0. \end{aligned}ªªª
Logo T(e_2)=(0,\,-1,\,0).
Calcule T(e_3)=T(0,0,1):
\begin{aligned} \text{1ª componente: }& -x = 0,\\\ \text{2ª componente: }& 4x-y = 4\cdot 0 - 0 = 0,\\\ \text{3ª componente: }& 2x+3z = 2\cdot 0 + 3\cdot 1 = 3. \end{aligned}ªªª
Logo T(e_3)=(0,\,0,\,3).

Passo 4

Agora monto a matriz na base canônica colocando T(e_1),T(e_2),T(e_3) como colunas, respectivamente. Assim a matriz é
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Breve verificação (útil na prova): multiplicando essa matriz por \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - x\\[4pt] 4x-y\\[4pt] 2x+3z \end{pmatrix},
que coincide com T(x,y,z). Perfeito — matriz confirmada.]

Resposta

\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}]

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