Consedere as baseś ordenadas A=(1,1),(0,1) e B=(1,0),(-1,1). Calcule a matriz mudança de base da base A para a base B, i.e., MBA.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas de R^2:
A = (1,1),,(0,1) e B = (1,0),,(-1,1).
Queremos a matriz de mudança de base de A para B, que denotamos por MBA. Para isso, vamos escrever cada vetor de A em coordenadas de B: as colunas de MBA são justamente essas coordenadas.

Passo 2

Definimos escalares alpha e beta tais que, para o primeiro vetor de A,
(1,1) = alpha,(1,0) + beta,(-1,1)
Em coordenadas, isso equivale ao sistema
(alpha - beta,;beta) = (1,1)

Passo 3

Resolvendo
beta = 1, alpha - beta = 1
vemos que beta=1 e alpha=2.
Logo as coordenadas de (1,1) na base B são 21.

Passo 4

Agora para o segundo vetor de A,
(0,1) = alpha,(1,0) + beta,(-1,1),
temos
(alpha - beta,;beta) = (0,1)
Isso dá
beta = 1, alpha - beta = 0
logo beta=1 e alpha=1.
As coordenadas de (0,1) na base B são 11.

Passo 5

Colocando essas coordenadas como colunas, obtemos
MBA = 2 & 1 1 & 1

Resposta

MBA = 2 & 1 1 & 1

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