Mostre que os vetores (2,0,2,1),(0,1,2,2) e (1,2,2,0) in R^4 são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^4:
v1 = (2,0,2,1), v2 = (0,1,2,2), v3 = (1,2,2,0),
e pede para mostrar que eles são linearmente independentes. Para isso vamos usar o fato de que são independentes se, e somente se, a única solução da combinação linear
a,v1 + b,v2 + c,v3 = (0,0,0,0)
é a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear em forma de vetor igual a zero temos
a,(2,0,2,1) ;+; b,(0,1,2,2) ;+; c,(1,2,2,0) ;=;(0,0,0,0)

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
2a + 0b + 1c = 0, 0a + 1b + 2c = 0, 2a + 2b + 2c = 0, 1a + 2b + 0c = 0

Passo 4

Da primeira equação vem
2a + c = 0 Longrightarrow c = -2a
Da quarta equação vem
a + 2b = 0 Longrightarrow b = -tfrac12,a

Passo 5

Substituindo b e c na segunda equação,
b + 2c = 0 Longrightarrow l(-tfrac12,ar) + 2l(-2ar) = 0 Longrightarrow -tfrac12,a -4a = 0 Longrightarrow -tfrac92,a = 0 Longrightarrow a = 0
Daí b = 0 e c = 0.

Passo 6

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule v1,v2,v3. Logo, eles são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores (2,0,2,1), (0,1,2,2) e (1,2,2,0) são linearmente independentes.

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