Seja
E=(cc a-b & 2(b-a) 0 & c ) ; a, b e c in R subset R^2 times 2
Qual é a dimensão de E?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
E=la-b & 2(b-a)0 & c;;;a,b,cinRr
que é um subespaço de R^2times2. Queremos determinar a dimensão de E. Para isso vamos encontrar uma parametrização linear, extrair um sistema de geradores e verificar quantos são linearmente independentes.

Passo 2

Observe que qualquer matriz em E pode ser escrita em função de alpha=a-b e c. De fato, colocando alpha=a-b temos
a-b=alpha, 2(b-a)=2(-alpha)=-2alpha,
então
a-b & 2(b-a)0 & c = alpha & -2alpha0 & 0 + 0 & 00 & c

Passo 3

Isso significa que todo elemento de E pode ser escrito como combinação linear
alphaunderbrace1 & -20 & 0E1 ;+; cunderbrace0 & 00 & 1E2
Os vetores E1 e E2 são visivelmente linearmente independentes (não existe lambda,muneq0 tais que lambda E1+mu E2=0). Logo E1,E2 forma uma base de E.

Resposta

A dimensão de E é 2.

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