Seja
E=(cc a-b & 2(b-a) 0 & c ) ; a, b e c in R subset R^2 times 2
Calcule uma base para E.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
E= a-b & 2(b-a)[6pt] 0 & c ;:;a,b,cinRsubsetR^2times2
e pede uma base de E. Vamos usar a ideia de parametrizar cada elemento em função de parâmetros livres e, em seguida, identificar vetores geradores.]

Passo 2

Sea um elemento arbitrário de E dado por
M= a-b & 2(b-a)[6pt] 0 & c
Observe que na posição (1,2) temos 2(b-a)=-2(a-b). Logo podemos reescrever
M= a-b & -2(a-b)[6pt] 0 & c ]

Passo 3

Defina o parâmetro
x = a-b
Como a e b aparecem apenas na combinação a-b, esse parâmetro x é livre, e c também é livre. Assim
M= x & -2x[6pt] 0 & c ]

Passo 4

Separe a dependência em x e em c:
M = x 1 & -2[6pt] 0 & 0 ;+; c 0 & 0[6pt] 0 & 1
Isso mostra que todo MinE é combinação linear dos dois matrizes acima.]

Resposta

Uma base de E é
1 & -2[6pt] 0 & 0 , 0 & 0[6pt] 0 & 1 ]

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