O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidata-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?
Passo 1
O enunciado pede: escolher um conselho desportivo formado por
professores e
alunos. As informações dadas são:
- Há
professores candidatos. - Há
alunos candidatos.
A pergunta é: de quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?
Passo 2
Conceito necessário (aula rápida e prática): contar escolhas sem levar em conta ordem — combinações.
- Quando queremos escolher
elementos dentre sem que a ordem importe, usamos a combinação
onde
(lê-se “n fatorial”) é
.
- Explicando como usar:
conta quantos subconjuntos de tamanho existem em um conjunto de elementos. Por exemplo, conta quantos pares distintos podemos formar de itens. - Outra ideia útil: podemos simplificar
escrevendo apenas os fatores maiores do numerador:
o que facilita cálculos à mão.
Passo 3
Aplicando ao caso dos professores: escolher
professores entre
.
- Usamos
- Simplificando:
Passo 4
Aplicando ao caso dos alunos: escolher
alunos entre
.
- Usamos a forma simplificada:
- Podemos simplificar dividindo
por :
então
- Calculando passo a passo:
(porque e ), então
Logo
Passo 5
Princípio da multiplicação (ou regra do produto): se uma escolha se faz em duas etapas independentes — primeiro escolher os professores e depois os alunos — o número total de conselhos possíveis é o produto das contagens das etapas.
- Temos
maneiras de escolher os professores e maneiras de escolher os alunos, portanto o total é
Passo 6
Substituindo os valores que já calculamos: