O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos. Candidata-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?

Passo 1

O enunciado pede: escolher um conselho desportivo formado por 2 professores e 3 alunos. As informações dadas são:
  • 5 professores candidatos.
  • 30 alunos candidatos.
    A pergunta é: de quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?

Passo 2

Conceito necessário (aula rápida e prática): contar escolhas sem levar em conta ordem — combinações.
  • Quando queremos escolher k elementos dentre n sem que a ordem importe, usamos a combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (lê-se “n fatorial”) é n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 1.
  • Explicando como usar: \binom{n}{k} conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos. Por exemplo, \binom{5}{2} conta quantos pares distintos podemos formar de 5 itens.
  • Outra ideia útil: podemos simplificar \binom{n}{k} escrevendo apenas os k fatores maiores do numerador:
\binom{n}{k}=\frac{n\cdot(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!},
o que facilita cálculos à mão.

Passo 3

Aplicando ao caso dos professores: escolher 2 professores entre 5.
  • Usamos
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{2!\cdot3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}.
  • Simplificando:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}= \;10.

Passo 4

Aplicando ao caso dos alunos: escolher 3 alunos entre 30.
  • Usamos a forma simplificada:
\binom{30}{3}=\frac{30\cdot29\cdot28}{3!}=\frac{30\cdot29\cdot28}{3\cdot2\cdot1}.
  • Podemos simplificar dividindo 30 por 3:
\frac{30}{3}=10,
então
\binom{30}{3}=\frac{10\cdot29\cdot28}{2}=\;5\cdot29\cdot28.
  • Calculando passo a passo: 29\cdot28=812 (porque 30\cdot28=840 e 840-28=812), então
5\cdot812=4060.
Logo
\binom{30}{3}=4060.

Passo 5

Princípio da multiplicação (ou regra do produto): se uma escolha se faz em duas etapas independentes — primeiro escolher os professores e depois os alunos — o número total de conselhos possíveis é o produto das contagens das etapas.
  • Temos \binom{5}{2} maneiras de escolher os professores e \binom{30}{3} maneiras de escolher os alunos, portanto o total é
\binom{5}{2}\times\binom{30}{3}.

Passo 6

Substituindo os valores que já calculamos:
\binom{5}{2}\times\binom{30}{3}=10\times4060.

Resposta

40600

Exercícios relacionados