Quantos números de 3 algarismos ( sem repeti-los ) podemos formar com os algarismos 2,4 e 7 ?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los) podemos formar com os algarismos
,
e
?”
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
- Os algarismos disponíveis são
, e . - Precisamos formar números de exatamente 3 algarismos.
- Não é permitida a repetição de algarismos dentro de um número.
- Não há problema com algarismos iniciais nulos porque nenhum dos algarismos é
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): vamos preencher as três posições do número (centenas, dezenas e unidades) uma a uma, contando quantas opções temos em cada posição, e depois usar o princípio fundamental da contagem (multiplicação das opções) para obter o total. Isso funciona porque cada escolha para uma posição combina com todas as escolhas possíveis das posições seguintes.
Passo 3
Escolhendo o algarismo das centenas (primeira posição): como ainda não escolhemos nada e todos os três algarismos
,
,
são válidos, temos
opções. Em notação:
Passo 4
Depois de escolher o algarismo das centenas, para a dezena (segunda posição) não podemos repetir o algarismo já usado. Portanto resta apenas
opções. Em notação:
Passo 5
Depois de escolher centenas e dezenas, resta um único algarismo disponível para a unidade (terceira posição), ou seja,
opção. Em notação:
Passo 6
Aplicando o princípio fundamental da contagem (multiplicamos as opções de cada etapa), o número total de números formados é
Explicação do princípio: se algo pode ser feito de
maneiras e, para cada uma dessas maneiras, outra escolha pode ser feita de
maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de
maneiras. Aqui temos três escolhas sequenciais, então multiplicamos as três quantidades.
Passo 7
Apresento também a fórmula de permutação como alternativa (útil em provas): o número de permutações de
objetos tomados
a
é
No nosso caso,
e
, então
lembrando que
.
Passo 8
Para ficar mais concreto e facilitar memorização, listo todos os
números possíveis formados pelos algarismos
,
e
sem repetição:
Você pode ver que são exatamente
e que não há repetições internas.