Quantos números de 3 algarismos ( sem repeti-los ) podemos formar com os algarismos 2,4 e 7 ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números de 3 algarismos (sem repeti-los) podemos formar com os algarismos 2, 4 e 7?”
Informações dadas importantes:
  • Os algarismos disponíveis são 2, 4 e 7.
  • Precisamos formar números de exatamente 3 algarismos.
  • Não é permitida a repetição de algarismos dentro de um número.
  • Não há problema com algarismos iniciais nulos porque nenhum dos algarismos é 0.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): vamos preencher as três posições do número (centenas, dezenas e unidades) uma a uma, contando quantas opções temos em cada posição, e depois usar o princípio fundamental da contagem (multiplicação das opções) para obter o total. Isso funciona porque cada escolha para uma posição combina com todas as escolhas possíveis das posições seguintes.

Passo 3

Escolhendo o algarismo das centenas (primeira posição): como ainda não escolhemos nada e todos os três algarismos 2, 4, 7 são válidos, temos 3 opções. Em notação:
\text{opções para a 1ª posição} = 3çõªçã

Passo 4

Depois de escolher o algarismo das centenas, para a dezena (segunda posição) não podemos repetir o algarismo já usado. Portanto resta apenas 2 opções. Em notação:
\text{opções para a 2ª posição} = 2çõªçã

Passo 5

Depois de escolher centenas e dezenas, resta um único algarismo disponível para a unidade (terceira posição), ou seja, 1 opção. Em notação:
\text{opções para a 3ª posição} = 1çõªçã

Passo 6

Aplicando o princípio fundamental da contagem (multiplicamos as opções de cada etapa), o número total de números formados é
3 \times 2 \times 1 = 6.
Explicação do princípio: se algo pode ser feito de a maneiras e, para cada uma dessas maneiras, outra escolha pode ser feita de b maneiras, então as duas escolhas juntas podem ser feitas de a\cdot b maneiras. Aqui temos três escolhas sequenciais, então multiplicamos as três quantidades.

Passo 7

Apresento também a fórmula de permutação como alternativa (útil em provas): o número de permutações de n objetos tomados k a k é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}.
No nosso caso, n=3 e k=3, então
P(3,3)=\frac{3!}{(3-3)!}=\frac{3\cdot2\cdot1}{0!}=\frac{6}{1}=6,
lembrando que 0!=1.

Passo 8

Para ficar mais concreto e facilitar memorização, listo todos os 6 números possíveis formados pelos algarismos 2, 4 e 7 sem repetição:
247,\;274,\;427,\;472,\;724,\;742.
Você pode ver que são exatamente 6 e que não há repetições internas.

Resposta

6

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