1. Quantas comissões de 3 alunos podemos formar com uma turma de 10 alunos, de tal forma que Lara sempre esteja presente?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma turma com 10 alunos e queremos formar comissões de 3 alunos. A condição extra é que a aluna Lara deve estar sempre presente em cada comissão. A pergunta é: quantas comissões diferentes de 3 alunos satisfazem essa condição?
Informações relevantes:
  • Total de alunos: 10.
  • Tamanho de cada comissão: 3.
  • Lara deve estar presente em todas as comissões.

Passo 2

Entendendo o que significa “Lara sempre presente”. Se Lara já está na comissão, sobram apenas 2 vagas a serem preenchidas pelos demais alunos. Como a turma tem 10 alunos no total e uma dessas é a Lara, restam 9 alunos candidatos às 2 vagas restantes. Portanto o problema reduz-se a: escolher 2 alunos entre 9.

Passo 3

Por que usamos combinações (e não permutações)? Aqui a ordem dos alunos dentro da comissão não importa: a comissão formada por, por exemplo, {Lara, Ana, Bruno} é a mesma que {Bruno, Lara, Ana}. Quando a ordem não importa usamos combinações. A combinação que escolhe k elementos entre n é denotada por \binom{n}{k}.

Passo 4

Apresentando a fórmula de combinação e explicando-a:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui:
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos até n: n! = n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • k! e (n-k)! são definidos da mesma forma.
    A ideia intuitiva: contamos todas as maneiras de escolher k em ordem ( n\cdot(n-1)\cdots), e dividimos pelas permutações internas de cada escolha ( k!) para eliminar a ordem.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso reduzido: escolher 2 entre 9:
\binom{9}{2} = \frac{9!}{2!\,7!}.
Simplificando a fração de fatoriais, cancelamos 7!:
\binom{9}{2} = \frac{9\cdot8\cdot7!}{2\cdot1\cdot7!} = \frac{9\cdot8}{2} .
Agora calculamos:
\frac{9\cdot8}{2} = \frac{72}{2} = 36.

Passo 6

Uma verificação alternativa (mesma resposta por outro caminho): contar todas as comissões de 3 sem restrição e subtrair as que não têm a Lara. Temos
\binom{10}{3} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = 120
comissões no total, e as comissões sem a Lara são
\binom{9}{3} = \frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1} = 84.
Subtraindo obtemos 120-84=36, que bate com o resultado anterior. Bom sinal — dois caminhos, mesma resposta!

Passo 7

Conclusão e lembrete prático para a prova: quando uma pessoa deve estar presente em todas as escolhas, “fixe” essa pessoa e escolha o restante entre os demais. Isso evita cálculos desnecessários e é rápido de aplicar.

Resposta

36

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