- Quantas comissões de 3 alunos podemos formar com uma turma de 10 alunos, de tal forma que Lara sempre esteja presente?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma turma com
alunos e queremos formar comissões de
alunos. A condição extra é que a aluna Lara deve estar sempre presente em cada comissão. A pergunta é: quantas comissões diferentes de
alunos satisfazem essa condição?
Informações relevantes:
- Total de alunos:
. - Tamanho de cada comissão:
. - Lara deve estar presente em todas as comissões.
Passo 2
Entendendo o que significa “Lara sempre presente”. Se Lara já está na comissão, sobram apenas
vagas a serem preenchidas pelos demais alunos. Como a turma tem
alunos no total e uma dessas é a Lara, restam
alunos candidatos às
vagas restantes. Portanto o problema reduz-se a: escolher
alunos entre
.
Passo 3
Por que usamos combinações (e não permutações)? Aqui a ordem dos alunos dentro da comissão não importa: a comissão formada por, por exemplo, {Lara, Ana, Bruno} é a mesma que {Bruno, Lara, Ana}. Quando a ordem não importa usamos combinações. A combinação que escolhe
elementos entre
é denotada por
.
Passo 4
Apresentando a fórmula de combinação e explicando-a:
Aqui:
-
(lê-se “n fatorial”) é o produto dos inteiros positivos até : . -
e são definidos da mesma forma.
A ideia intuitiva: contamos todas as maneiras de escolherem ordem ( ), e dividimos pelas permutações internas de cada escolha ( ) para eliminar a ordem.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso reduzido: escolher
entre
:
Simplificando a fração de fatoriais, cancelamos
:
Agora calculamos:
Passo 6
Uma verificação alternativa (mesma resposta por outro caminho): contar todas as comissões de
sem restrição e subtrair as que não têm a Lara. Temos
comissões no total, e as comissões sem a Lara são
Subtraindo obtemos
, que bate com o resultado anterior. Bom sinal — dois caminhos, mesma resposta!
Passo 7
Conclusão e lembrete prático para a prova: quando uma pessoa deve estar presente em todas as escolhas, “fixe” essa pessoa e escolha o restante entre os demais. Isso evita cálculos desnecessários e é rápido de aplicar.