Calcule a transformada de Fourier
das funções abaixo:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a transformada de Fourier da função $ f(x) = x^{2} e^{-|x|} $. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Fourier, que estuda como representar funções em termos de senos e cossenos (ou exponenciais complexas). Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades das funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Ela é dada por:
No nosso caso, $ f(x) = x^{2} e^{-|x|} $, então substituindo na integral:
Passo 3
Vamos simplificar essa integral. Note que a função $ e^{-|x|} $ é par, ou seja, $ e^{-|x|} = e^{-|-x|} $, e $ x^{2} $ também é par porque $ (-x)^2 = x^2 $. Além disso, $ e^{-i \omega x} $ pode ser decomposta em partes pares e ímpares usando a identidade de Euler:
Como estamos integrando uma função par vezes uma função par e uma função ímpar, apenas a parte par ($ \cos(\omega x) $) vai contribuir para a integral, já que a parte ímpar se cancela ao integrar de
a
. Então, a integral fica:
Multiplicamos por 2 porque a função é par e estamos integrando apenas de 0 a
.
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral:
Para isso, vamos usar uma integral conhecida envolvendo polinômios, exponenciais e cossenos:
No nosso caso, $ n = 2 $, $ a = 1 $ e $ b = \omega $.
Passo 5
Aplicando a fórmula acima:
Calculando:
Portanto:
Passo 6
Voltando à transformada de Fourier:
Resposta
A transformada de Fourier de $ f(x) = x^{2} e^{-|x|} $ é: