Calcule a transformada de Fourier f(omega)=Ff(x) das funções abaixo:
f(x)=x^2 e^-|x|, para x in R.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a transformada de Fourier da função $ f(x) = x^{2} e^{-|x|} $. Isso está dentro do conteúdo de Análise de Fourier, que estuda como representar funções em termos de senos e cossenos (ou exponenciais complexas). Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e algumas propriedades das funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Ela é dada por:
f(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x , dx
No nosso caso, $ f(x) = x^{2} e^{-|x|} $, então substituindo na integral:
f(x) = x^2 e^-|x|

Passo 3

Vamos simplificar essa integral. Note que a função $ e^{-|x|} $ é par, ou seja, $ e^{-|x|} = e^{-|-x|} $, e $ x^{2} $ também é par porque $ (-x)^2 = x^2 $. Além disso, $ e^{-i \omega x} $ pode ser decomposta em partes pares e ímpares usando a identidade de Euler:
e^-|x|
Como estamos integrando uma função par vezes uma função par e uma função ímpar, apenas a parte par ($ \cos(\omega x) $) vai contribuir para a integral, já que a parte ímpar se cancela ao integrar de e^-|x| = e^-|-x| a x^2 . Então, a integral fica:
(-x)^2 = x^2
Multiplicamos por 2 porque a função é par e estamos integrando apenas de 0 a e^-i omega x .

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral:
I = integral0^infty x^2 e^-x cos(omega x) , dx
Para isso, vamos usar uma integral conhecida envolvendo polinômios, exponenciais e cossenos:
No nosso caso, $ n = 2 $, $ a = 1 $ e $ b = \omega $.

Passo 5

Aplicando a fórmula acima:
Calculando:
I = 2! cdot 1(1^2 + omega^2)^(2+1)/2 cos(3 arctan(omega))
2! = 2
(1 + omega^2)^3/2
Portanto:

Passo 6

Voltando à transformada de Fourier:
f(omega) = 2I = 2 cdot 2 (1 - 3omega^2)(1 + omega^2)^3 = 4 (1 - 3omega^2)(1 + omega^2)^3

Resposta

A transformada de Fourier de $ f(x) = x^{2} e^{-|x|} $ é:
f(x) = x^2 e^-|x|

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