(5.) Consequências da Fórmula Integral de Cauchy
(a) Use a fórmula de Cauchy para derivadas e calcule:
- i.
, onde
,
.
- ii.
, onde
, com
.
(b) Calcule
(a) Use a fórmula de Cauchy para derivadas e calcule:
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede para usar a fórmula integral de Cauchy para derivadas e achar (a)(i)
em
com
, (a)(ii)
em
com
, e em (b) calcular
O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas.
Passo 2
A fórmula geral de Cauchy para a
-ésima derivada é
desde que
seja analítica num domínio que contém
e sua região interior.
Passo 3
Para (a)(i), temos
,
e
. Então
Mas sabemos que
, logo
Passo 4
Para (a)(ii), tomamos
,
e
. Assim
Como
, segue
Passo 5
No item (b), use
,
e
. A fórmula dá
Alternativamente, na expansão de Laurent de
não há termo em
, então a integral vale zero.
Resposta
(a)(i)
(a)(ii)
(b)
(a)(ii)
(b)