(5.) Consequências da Fórmula Integral de Cauchy
(a) Use a fórmula de Cauchy para derivadas e calcule:
  • i. f^{\prime}(0), onde f(z)=\sin z, \operatorname{com} \gamma:|z|=2.
  • ii. f^{\prime \prime}(1), onde f(z)=e^{z}, com \gamma:|z-1|=1.
    (b) Calcule
\int_{|z|=1} \frac{\cos z}{z^{2}} d z

Passo 1

O enunciado pede para usar a fórmula integral de Cauchy para derivadas e achar (a)(i) f'(0) em f(z)=\sin z com \gamma:|z|=2, (a)(ii) f''(1) em f(z)=e^z com \gamma:|z-1|=1, e em (b) calcular
\int_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^2}\,dz.
O conteúdo principal é a fórmula de Cauchy para derivadas.

Passo 2

A fórmula geral de Cauchy para a n-ésima derivada é
f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}}\,dz,
desde que f seja analítica num domínio que contém \gamma e sua região interior.

Passo 3

Para (a)(i), temos f(z)=\sin z, a=0 e n=1. Então
f'(0) =\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=2}\frac{\sin z}{z^2}\,dz.
Mas sabemos que f'(z)=\cos z, logo
f'(0)=\cos(0)=1.

Passo 4

Para (a)(ii), tomamos f(z)=e^z, a=1 e n=2. Assim
f''(1) =\frac{2!}{2\pi i}\int_{|z-1|=1}\frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz.
Como f''(z)=e^z, segue
f''(1)=e^1=e.

Passo 5

No item (b), use f(z)=\cos z, a=0 e n=1. A fórmula dá
\int_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^2}\,dz =2\pi i\,f'(0) =2\pi i\bigl(-\sin0\bigr) =0.
Alternativamente, na expansão de Laurent de \cos z/z^2 não há termo em z^{-1}, então a integral vale zero.

Resposta

(a)(i) 1
(a)(ii) e
(b) 0

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