No entorno de singularidades Calcule explicitamente
\int_{|z|=2} \frac{1}{z^{2}+1} d z
Identifique os polos e discuta se estão dentro da curva.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{|z|=2} \frac{1}{z^2+1}\,dz
que envolve o Teorema dos Resíduos: para integrar funções com polos isolados dentro de uma curva fechada, basta somar os resíduos multiplicados por 2\pi i.

Passo 2

As singularidades de f(z)=\frac{1}{z^2+1} são dadas por
z^2+1=0
logo z=\pm i são polos simples porque cada raiz é de multiplicidade um.

Passo 3

No contorno |z|=2 temos |i|=1<2 e |-i|=1<2, portanto ambos os polos estão dentro da curva.

Passo 4

Calculamos os resíduos em cada polo pelo limite da definição de polo simples:
\Res\bigl(f,i\bigr) =\lim_{z\to i}(z-i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} =\frac{1}{2i}
\Res\bigl(f,-i\bigr) =\lim_{z\to -i}(z+ i)\frac{1}{(z-i)(z+i)} =-\frac{1}{2i}

Passo 5

Pela fórmula do Teorema dos Resíduos segue que
\int_{|z|=2}\frac{1}{z^2+1}\,dz =2\pi i\Bigl(\Res(f,i)+\Res(f,-i)\Bigr) =2\pi i\Bigl(\frac{1}{2i}-\frac{1}{2i}\Bigr) =0

Resposta

0

Exercícios relacionados