Fórmula Integral de Cauchy Seja o a circunferência |z|=2. Calcule:
\int_{\gamma} \frac{\sin z}{z-i} dz.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\gamma}\frac{\sin z}{z - i}\,dz
em que \gamma é a circunferência \lvert z\rvert=2 (orientação positiva). O conteúdo principal aqui é a Fórmula Integral de Cauchy para funções holomorfas.

Passo 2

Identificamos que a função
f(z)=\sin z
é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}) e o único polo aparente do integrando
\frac{\sin z}{z - i}
é em z=i. Como \lvert i\rvert=1<2, esse ponto está dentro de \gamma.

Passo 3

Pela Fórmula Integral de Cauchy, para f holomorfa e z_{0} dentro de \gamma, vale
\int_{\gamma}\frac{f(z)}{z - z_{0}}\,dz = 2\pi i\,f(z_{0}).
Aqui z_{0}=i, logo
\int_{\gamma}\frac{\sin z}{z - i}\,dz = 2\pi i\,\sin(i).

Passo 4

Falta avaliar \sin(i). Usando a identidade
\sin(i) = i\,\operatorname{sinh}(1),
temos
2\pi i\,\sin(i) = 2\pi i \,\bigl(i\,\operatorname{sinh}(1)\bigr) = -2\pi\,\operatorname{sinh}(1).

Resposta

-2\pi\,\operatorname{sinh}(1)

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