(03) Calcule diretamente (usando parametrizações) e interprete; Explique, porque o resultado reafirma pelo teorema de Cauchy Goursat:
\int\left(3 z^{2}+2\right) d z
onde \gamma é a circunferência |z|=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de contorno
\int_\gamma \bigl(3z^2 + 2\bigr)\,dz
onde \gamma é a circunferência \lvert z\rvert=1, usando parametrização. O conteúdo é integração de funções analíticas em curvas fechadas e o Teorema de Cauchy–Goursat, que afirma que a integral de uma função holomorfa num contorno fechado é zero.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência unitária por
z(t) = e^{i t},\quad 0\le t\le 2\pi,
logo
dz = i\,e^{i t}\,dt.
Substituindo na integral,
\int_\gamma \bigl(3z^2 + 2\bigr)\,dz = \int_{0}^{2\pi} \bigl(3e^{2i t}+2\bigr)\,i\,e^{i t}\,dt = i\int_{0}^{2\pi}\bigl(3e^{3i t}+2e^{i t}\bigr)\,dt.

Passo 3

Separando em duas integrais:
i\int_{0}^{2\pi}3e^{3i t}\,dt \quad\text{e}\quad i\int_{0}^{2\pi}2e^{i t}\,dt.
Para k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},
\int_{0}^{2\pi}e^{ik t}\,dt =\frac{e^{ik t}}{ik}\Big|_{0}^{2\pi} =\frac{1-1}{ik}=0.
Como k=3 e k=1 são não nulos, ambas as integrais valem zero. Portanto
\int_\gamma \bigl(3z^2 + 2\bigr)\,dz=0.

Passo 4

Interpretando, a função f(z)=3z^2+2 é um polinômio, logo é inteira (holomorfa em \mathbb{C}) e possui primitiva global, por exemplo
F(z)=z^3+2z.
Pelo Teorema de Cauchy–Goursat, a integral de f sobre qualquer curva fechada em \mathbb{C} é zero. Nosso cálculo direto confirma esse resultado.

Resposta

0

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