Conserto de câmeras de vídeo. Você quer estimar, com 96% de confiança, a proporção de câmeras de vídeo que precisam de conserto ou que têm problemas ao completarem cinco anos de uso. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 2,5%.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que 25 \% das câmeras precisaram de conserto ou tiveram problemas ao completarem cinco anos de uso.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • O que o enunciado dá:
    • Nível de confiança: 96\%.
    • Margem de erro desejada: 2{,}5\%, ou seja E=0{,}025.
    • Duas situações:
      1. (a) Não há estimativa prévia da proporção.
      2. (b) Há uma estimativa prévia: \hat{p}=25\%=0{,}25.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Encontrar o tamanho mínimo da amostra n quando não há estimativa prévia.
    • (b) Encontrar o tamanho mínimo da amostra n usando \hat{p}=0{,}25.
    • (c) Comparar os resultados de (a) e (b).

Passo 2

Explicação da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Quando queremos estimar uma proporção p com nível de confiança 1-\alpha e margem de erro E, a margem de erro associada ao intervalo de confiança para proporção é dada por
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • E é a margem de erro (aqui E=0{,}025);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2 (por exemplo, para 95\% de confiança z_{0{,}025}=1{,}96);
  • p é a proporção verdadeira (ou uma estimativa \hat{p} quando disponível);
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • Isolando n na expressão acima obtemos a fórmula prática para o tamanho da amostra:
n = \dfrac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}.
Essa fórmula vem de simplesmente elevar ao quadrado os dois lados e isolar n.
  • Observação importante (caso sem estimativa prévia): a quantidade p(1-p) é máxima quando p=0{,}5. Assim, se não se tem \hat{p}, usa-se p=0{,}5 para obter um n conservador (maior), garantindo a margem de erro desejada independentemente do verdadeiro p.

Passo 3

Determinar z_{\alpha/2} para 96\% de confiança.
  • Para nível de confiança 96\% temos \alpha = 1-0{,}96 = 0{,}04 e \alpha/2 = 0{,}02.
  • Precisamos do quantil z_{0{,}02} tal que P(Z>z_{0{,}02})=0{,}02 ou P(Z\le z_{0{,}02})=0{,}98.
  • Usando tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos aproximadamente
z_{0{,}02}\approx 2{,}05375.
(Em tabelas esse valor pode aparecer como 2{,}0537 ou 2{,}054; aqui usarei 2{,}05375 para os cálculos.)

Passo 4

Calcular o tamanho da amostra para o caso (a) — sem estimativa prévia (usar p=0{,}5 conservador).
  • Substituindo na fórmula
n=\dfrac{z_{\alpha/2}^2\,p(1-p)}{E^2}
com z_{\alpha/2}\approx 2{,}05375, p=0{,}5 e E=0{,}025:
z_{\alpha/2}^2 \approx 2{,}05375^2 = 4{,}2178890625,
p(1-p)=0{,}5(1-0{,}5)=0{,}25,
E^2 = 0{,}025^2 = 0{,}000625.
  • Então
n \approx \dfrac{4{,}2178890625 \times 0{,}25}{0{,}000625} = \dfrac{1{,}054472265625}{0{,}000625}.
  • Como 1/0{,}000625=1600, temos
n \approx 1{,}054472265625\times 1600 \approx 1687{,}155625.
  • O tamanho da amostra deve ser inteiro e, para garantir a margem de erro (não subestimar n), sempre arredonda-se para cima:
n_{\min}=1688.

Passo 5

Calcular o tamanho da amostra para o caso (b) — usando a estimativa prévia \hat{p}=0{,}25.
  • Agora p=\hat{p}=0{,}25. Temos p(1-p)=0{,}25\times 0{,}75=0{,}1875.
  • Usando o mesmo z_{\alpha/2}^2 e E^2:
n \approx \dfrac{4{,}2178890625 \times 0{,}1875}{0{,}000625}.
  • Calcule o numerador: 4{,}2178890625\times 0{,}1875=0{,}79085419921875.
  • Dividindo por 0{,}000625 (ou multiplicando por 1600):
n \approx 0{,}79085419921875\times 1600 \approx 1265{,}36671875.
  • Arredondando para cima:
n_{\min}=1266.

Passo 6

Comparação e interpretação (parte c): por que mudou e quanto mudou.
  • Diferença absoluta:
1688 - 1266 = 422.
Ou seja, usando a estimativa prévia ( \hat{p}=0{,}25) precisa-se de 422 observações a menos que no caso conservador p=0{,}5.
  • Diferença relativa (redução percentual):
\frac{422}{1688}=0{,}25 = 25\%.
Portanto, o tamanho da amostra diminuiu 25\% quando se usou a estimativa prévia \hat{p}=0{,}25.
  • Intuição: como p(1-p) mede a variabilidade da proporção, quando p está longe de 0{,}5 essa variabilidade é menor; logo é preciso menos amostras para atingir a mesma margem de erro. O valor p=0{,}5 é o pior caso (máxima variância), por isso fornece um n conservador.

Resposta

(a) n_{\min}=1688
(b) n_{\min}=1266
(c) Redução de 422 observações, ou 25\% a menos ao usar \hat{p}=0{,}25 em vez do caso conservador p=0{,}5.

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