Conserto de câmeras de vídeo. Você quer estimar, com 96% de confiança, a proporção de câmeras de vídeo que precisam de conserto ou que têm problemas ao completarem cinco anos de uso. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 2,5%.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
das câmeras precisaram de conserto ou tiveram problemas ao completarem cinco anos de uso.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
- O que o enunciado dá:
- Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada:
, ou seja . - Duas situações:
- (a) Não há estimativa prévia da proporção.
- (b) Há uma estimativa prévia:
.
- Nível de confiança:
- O que o enunciado pede:
- (a) Encontrar o tamanho mínimo da amostra
quando não há estimativa prévia. - (b) Encontrar o tamanho mínimo da amostra
usando . - (c) Comparar os resultados de (a) e (b).
- (a) Encontrar o tamanho mínimo da amostra
Passo 2
Explicação da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Quando queremos estimar uma proporção
com nível de confiança e margem de erro , a margem de erro associada ao intervalo de confiança para proporção é dada por
onde:
-
é a margem de erro (aqui ); -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é (por exemplo, para de confiança ); -
é a proporção verdadeira (ou uma estimativa quando disponível); -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar. -
Isolando
na expressão acima obtemos a fórmula prática para o tamanho da amostra:
Essa fórmula vem de simplesmente elevar ao quadrado os dois lados e isolar
.
- Observação importante (caso sem estimativa prévia): a quantidade
é máxima quando . Assim, se não se tem , usa-se para obter um conservador (maior), garantindo a margem de erro desejada independentemente do verdadeiro .
Passo 3
Determinar
para
de confiança.
- Para nível de confiança
temos e . - Precisamos do quantil
tal que ou . - Usando tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos aproximadamente
(Em tabelas esse valor pode aparecer como
ou
; aqui usarei
para os cálculos.)
Passo 4
Calcular o tamanho da amostra para o caso (a) — sem estimativa prévia (usar
conservador).
- Substituindo na fórmula
com
,
e
:
- Então
- Como
, temos
- O tamanho da amostra deve ser inteiro e, para garantir a margem de erro (não subestimar
), sempre arredonda-se para cima:
Passo 5
Calcular o tamanho da amostra para o caso (b) — usando a estimativa prévia
.
- Agora
. Temos . - Usando o mesmo
e :
- Calcule o numerador:
. - Dividindo por
(ou multiplicando por ):
- Arredondando para cima:
Passo 6
Comparação e interpretação (parte c): por que mudou e quanto mudou.
- Diferença absoluta:
Ou seja, usando a estimativa prévia (
) precisa-se de 422 observações a menos que no caso conservador
.
- Diferença relativa (redução percentual):
Portanto, o tamanho da amostra diminuiu
quando se usou a estimativa prévia
.
- Intuição: como
mede a variabilidade da proporção, quando está longe de essa variabilidade é menor; logo é preciso menos amostras para atingir a mesma margem de erro. O valor é o pior caso (máxima variância), por isso fornece um conservador.
Resposta
(a)
(b)
(c) Redução de
observações, ou
a menos ao usar
em vez do caso conservador
.