Nos exercidos 29 e 30, traduza o trecho do jornal em um intervalo de confiança para "
". Aproxime o valor do nível de confiança “c”.
Em uma pesquisa entre 1.001 adultos norte-americanos,
disseram que fumaram um cigarro na semana anterior. A margem de erro da pesquisa é de
para mais ou para menos.
Em uma pesquisa entre 1.001 adultos norte-americanos,
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar passo a passo):
- Amostra com
adultos. - Proporção amostral que disse ter fumado na semana anterior:
, isto é . - Margem de erro (para mais ou para menos):
, isto é .
O enunciado pede:
- Traduzir o trecho em um intervalo de confiança para
(a proporção verdadeira da população). - Aproximar o nível de confiança
correspondente àquela margem de erro.
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicando tudo como se fosse na prova).
- Para proporções, com amostra grande, o intervalo de confiança de nível
para tem a forma
onde:
-
é a proporção amostral (aqui ); -
é o valor crítico da Normal padrão correspondente ao nível (por exemplo para ); -
é o erro-padrão da proporção, dado por
- A margem de erro
é exatamente o produto . - Para que essa aproximação pela Normal seja válida, costuma-se exigir
e . Vou checar isso depois.
Passo 3
Calcular o intervalo de confiança diretamente a partir da margem de erro fornecida (passo simples que se faz na prova quando o ME já é dado).
- O intervalo é
- Substituindo os números:
- Portanto os limites são
- Em porcentagem, o intervalo fica
.
Passo 4
Agora determinar o nível de confiança
que corresponde a essa margem de erro. Primeiro calculo o erro-padrão com
e
.
- Calcular
:
- Dividir por
:
- Extrair a raiz quadrada para obter
:
(na prova pode-se arredondar a
; mantive um pouco mais de casas para precisão).
Passo 5
Encontrar
a partir de
.
- Então
Passo 6
Converter
em nível de confiança
.
- Para a Normal padrão, a probabilidade central correspondente a
é
onde
é a função distribuição acumulada da Normal padrão.
- Usando uma tabela ou calculadora:
. Com obtemos (aprox.). - Logo
- Em porcentagem,
(aproximadamente ; também se pode arredondar para ).
Passo 7
Checagem das condições de validade da aproximação Normal (dica de prova).
- Calcular
. - Calcular
. - Como ambos são bem maiores que
, a aproximação Normal é adequada e o procedimento está correto.
Passo 8
Resumo prático (como escrever rápido na prova):
- Intervalo de confiança para
: . - Nível de confiança aproximado:
.