Nos exercidos 29 e 30, traduza o trecho do jornal em um intervalo de confiança para " p ". Aproxime o valor do nível de confiança “c”.
Em uma pesquisa entre 1.001 adultos norte-americanos, 27 \% disseram que fumaram um cigarro na semana anterior. A margem de erro da pesquisa é de 3 \% para mais ou para menos.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar passo a passo):
  • Amostra com n=1001 adultos.
  • Proporção amostral que disse ter fumado na semana anterior: \hat{p}=27\%, isto é \hat{p}=0,27.
  • Margem de erro (para mais ou para menos): ME=3\%, isto é ME=0,03.
O enunciado pede:
  1. Traduzir o trecho em um intervalo de confiança para p (a proporção verdadeira da população).
  2. Aproximar o nível de confiança c correspondente àquela margem de erro.

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicando tudo como se fosse na prova).
  • Para proporções, com amostra grande, o intervalo de confiança de nível c para p tem a forma
\hat{p}\pm z^\star\cdot \operatorname{SE},
onde:
  • \hat{p} é a proporção amostral (aqui \hat{p}=0,27);
  • z^\star é o valor crítico da Normal padrão correspondente ao nível c (por exemplo z^\star\approx 1,96 para 95\%);
  • \operatorname{SE} é o erro-padrão da proporção, dado por
\operatorname{SE}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
  • A margem de erro ME é exatamente o produto z^\star\cdot\operatorname{SE}.
  • Para que essa aproximação pela Normal seja válida, costuma-se exigir n\hat p\ge 10 e n(1-\hat p)\ge 10. Vou checar isso depois.

Passo 3

Calcular o intervalo de confiança diretamente a partir da margem de erro fornecida (passo simples que se faz na prova quando o ME já é dado).
  • O intervalo é
\hat{p}\pm ME.
  • Substituindo os números:
0,27\pm 0,03.
  • Portanto os limites são
\text{limite inferior}=0,27-0,03=0,24, \qquad \text{limite superior}=0,27+0,03=0,30.
  • Em porcentagem, o intervalo fica (24\%,\,30\%).

Passo 4

Agora determinar o nível de confiança c que corresponde a essa margem de erro. Primeiro calculo o erro-padrão com \hat p e n.
  • Calcular \hat p(1-\hat p):
\hat p(1-\hat p)=0,27\cdot 0,73=0,1971.
  • Dividir por n:
\dfrac{0,1971}{1001}=0,000196903\\ (\text{aprox.}).
  • Extrair a raiz quadrada para obter \operatorname{SE}:
\operatorname{SE}=\sqrt{0,000196903}\approx 0,01403.
(na prova pode-se arredondar a 0,0140; mantive um pouco mais de casas para precisão).

Passo 5

Encontrar z^\star a partir de ME=z^\star\cdot\operatorname{SE}.
  • Então
z^\star=\dfrac{ME}{\operatorname{SE}}=\dfrac{0,03}{0,01403}\approx 2,1376\approx 2,14.

Passo 6

Converter z^\star em nível de confiança c.
  • Para a Normal padrão, a probabilidade central correspondente a \pm z^\star é
c = P(-z^\star\le Z\le z^\star)=2\Phi(z^\star)-1,
onde \Phi é a função distribuição acumulada da Normal padrão.
  • Usando uma tabela ou calculadora: \Phi(2,14)\approx 0,9838. Com z^\star\approx 2,1376 obtemos \Phi(2,1376)\approx 0,9837 (aprox.).
  • Logo
c\approx 2\cdot 0,9837 -1 = 0,9674\approx 0,967.
  • Em porcentagem, c\approx 96,7\% (aproximadamente 96,7\%; também se pode arredondar para 96,8\%).

Passo 7

Checagem das condições de validade da aproximação Normal (dica de prova).
  • Calcular n\hat p=1001\cdot 0,27=270,27\ge 10.
  • Calcular n(1-\hat p)=1001\cdot 0,73=730,73\ge 10.
  • Como ambos são bem maiores que 10, a aproximação Normal é adequada e o procedimento está correto.

Passo 8

Resumo prático (como escrever rápido na prova):
  • Intervalo de confiança para p: \hat p\pm ME = 0,27\pm 0,03\Rightarrow (0,24,\,0,30).
  • Nível de confiança aproximado: c\approx 96,7\%.

Resposta

(0,24,\,0,30)
c\approx 96,7\%

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