Conserto de computadores. Você quer estimar, com
de confiança e com margem de erro
, a proporção de computadores que precisam de conserto ou têm problemas ao completarem três anos de uso.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
dos computadores precisaram de conserto ou tiveram problemas ao completarem três anos de uso.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Nível de confiança:
. - Margem de erro desejada:
(ou seja, ). - Parte (a): não há estimativa prévia para a proporção
. - Parte (b): há uma estimativa prévia
(isto é, ).
- Nível de confiança:
- O que o exercício pede:
- (a) Encontrar o tamanho mínimo da amostra quando não existe estimativa prévia.
- (b) Encontrar o tamanho mínimo da amostra usando
. - (c) Comparar os resultados das partes (a) e (b).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada com calma).
Para estimar uma proporção com margem de erro
e confiança
, o tamanho necessário da amostra (quando a população é grande) é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o tamanho de amostra que queremos. -
é o quantil crítico da distribuição normal padrão tal que . Para confiança , tem-se e . -
é a proporção verdadeira (ou uma estimativa prévia dela). -
é a variância da proporção amostral (no numerador aparece porque a variância é ). -
é a margem de erro absoluta (aqui ).
Observação prática importante: quando não se tem nenhum palpite para
, o valor que maximiza
é
. Usando
obtém-se o maior
necessário — isto é uma escolha conservadora que garante a margem de erro pedida.
Passo 3
Valor de
para
de confiança.
- Como explicado acima, queremos o quantil com probabilidade acumulada
. - Consultando tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos aproximadamente
(Usaremos
nas contas. Se alguém usar tabela diferente e pegar
a diferença será insignificante para o arredondamento final.)
Passo 4
Preparando os valores que aparecem na fórmula.
-
então
-
. Calculando:
Vou usar esse valor nas contas seguintes.
Passo 5
Parte (a): sem estimativa prévia — usar
(caso conservador).
- Calcular
quando :
- Aplicar a fórmula:
- Calcular numerador:
- Dividir:
Regra prática: sempre arredondar para cima (ceiling) porque precisamos de pelo menos esse número de observações para garantir a margem de erro. Logo
Passo 6
Parte (b): usando a estimativa prévia
.
- Calcular
:
- Aplicar a fórmula:
- Calcular numerador:
- Dividir:
Arredondando para cima:
Passo 7
Parte (c): comparar os resultados e interpretar.
- Valores encontrados:
- sem estimativa prévia:
. - com estimativa
: .
- sem estimativa prévia:
- Diferença absoluta:
- Diferença relativa (redução percentual):
Interpretação didática: como a variância da proporção
é máxima em
, usar
dá um
conservador e maior. Quando se tem uma estimativa realista que afasta
de
(aqui
), a variância calculada é menor e, portanto, a amostra necessária diminui bastante — no caso, cerca de
a menos.
Resposta
a)
b)
c) Redução de aproximadamente
(ou
observações a menos) ao usar
em vez de
.