Conserto de computadores. Você quer estimar, com 97 \% de confiança e com margem de erro 3,5 \%, a proporção de computadores que precisam de conserto ou têm problemas ao completarem três anos de uso.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que 19 \% dos computadores precisaram de conserto ou tiveram problemas ao completarem três anos de uso.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Nível de confiança: 97\%.
    • Margem de erro desejada: 3{,}5\% (ou seja, E=0{,}035).
    • Parte (a): não há estimativa prévia para a proporção p.
    • Parte (b): há uma estimativa prévia p=0{,}19 (isto é, 19\%).
  • O que o exercício pede:
    • (a) Encontrar o tamanho mínimo da amostra quando não existe estimativa prévia.
    • (b) Encontrar o tamanho mínimo da amostra usando p=0{,}19.
    • (c) Comparar os resultados das partes (a) e (b).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada com calma).
Para estimar uma proporção com margem de erro E e confiança 1-\alpha, o tamanho necessário da amostra (quando a população é grande) é dado por
n=\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Explicando cada símbolo:
  • n é o tamanho de amostra que queremos.
  • z_{\alpha/2} é o quantil crítico da distribuição normal padrão tal que \Pr(Z\le z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}. Para confiança 97\%, tem-se \alpha=0{,}03 e \alpha/2=0{,}015.
  • p é a proporção verdadeira (ou uma estimativa prévia dela).
  • p(1-p) é a variância da proporção amostral (no numerador aparece porque a variância é p(1-p)/n).
  • E é a margem de erro absoluta (aqui E=0{,}035).
Observação prática importante: quando não se tem nenhum palpite para p, o valor que maximiza p(1-p) é p=0{,}5. Usando p=0{,}5 obtém-se o maior n necessário — isto é uma escolha conservadora que garante a margem de erro pedida.

Passo 3

Valor de z_{\alpha/2} para 97\% de confiança.
  • Como explicado acima, queremos o quantil com probabilidade acumulada 1-\alpha/2=1-0{,}015=0{,}985.
  • Consultando tabela da normal padrão ou calculadora, obtemos aproximadamente
z_{0{,}015}=z_{\,\alpha/2}\approx 2{,}1701.
(Usaremos z_{\,\alpha/2}=2{,}1701 nas contas. Se alguém usar tabela diferente e pegar 2{,}17 a diferença será insignificante para o arredondamento final.)

Passo 4

Preparando os valores que aparecem na fórmula.
  • E=0{,}035 então
E^{2}=(0{,}035)^{2}=0{,}001225.
  • z_{\alpha/2}^{2}=(2{,}1701)^{2}. Calculando:
(2{,}1701)^{2}\approx 4{,}7093.
Vou usar esse valor nas contas seguintes.

Passo 5

Parte (a): sem estimativa prévia — usar p=0{,}5 (caso conservador).
  • Calcular p(1-p) quando p=0{,}5:
p(1-p)=0{,}5\times 0{,}5=0{,}25.
  • Aplicar a fórmula:
n=\frac{4{,}7093\times 0{,}25}{0{,}001225}.
  • Calcular numerador:
4{,}7093\times 0{,}25=1{,}177325.
  • Dividir:
n=\frac{1{,}177325}{0{,}001225}\approx 961{,}08\ldots
Regra prática: sempre arredondar para cima (ceiling) porque precisamos de pelo menos esse número de observações para garantir a margem de erro. Logo
n=962.

Passo 6

Parte (b): usando a estimativa prévia p=0{,}19.
  • Calcular p(1-p):
p(1-p)=0{,}19\times(1-0{,}19)=0{,}19\times 0{,}81=0{,}1539.
  • Aplicar a fórmula:
n=\frac{4{,}7093\times 0{,}1539}{0{,}001225}.
  • Calcular numerador:
4{,}7093\times 0{,}1539\approx 0{,}724761.
  • Dividir:
n=\frac{0{,}724761}{0{,}001225}\approx 591{,}80\ldots
Arredondando para cima:
n=592.

Passo 7

Parte (c): comparar os resultados e interpretar.
  • Valores encontrados:
    • sem estimativa prévia: n=962.
    • com estimativa p=0{,}19: n=592.
  • Diferença absoluta:
962-592=370\\ \text{amostras a menos quando se usa a estimativa prévia.}é
  • Diferença relativa (redução percentual):
\frac{962-592}{962}\approx 0{,}3846\quad\text{ou seja}\quad 38{,}5\%.
Interpretação didática: como a variância da proporção p(1-p) é máxima em p=0{,}5, usar p=0{,}5 dá um n conservador e maior. Quando se tem uma estimativa realista que afasta p de 0{,}5 (aqui p=0{,}19), a variância calculada é menor e, portanto, a amostra necessária diminui bastante — no caso, cerca de 38{,}5\% a menos.

Resposta

a) n=962
b) n=592
c) Redução de aproximadamente 38{,}5\% (ou 370 observações a menos) ao usar p=0{,}19 em vez de p=0{,}5.

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