Uso de serviços on-line. Você é um agente de viagens e quer estimar, com 98 \% de confiança, a proporção de pessoas em férias que usam um serviço on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de 4 \%.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que 30 \% dos pesquisados disseram que usavam um serviço on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados nos foram dados.
  • Objetivo geral: estimar, com 98\% de confiança, a proporção de pessoas em férias que usam um serviço on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem, com margem de erro de 4\%.
  • Dados fornecidos:
    • Nível de confiança: 98\%.
    • Margem de erro (precisão desejada): 4\% = 0,04.
  • Perguntas:
    a) Calcular o tamanho mínimo da amostra quando não há estimativa prévia da proporção.
    b) Calcular o tamanho mínimo da amostra usando a estimativa prévia \hat{p}=30\%=0,30.
    c) Comparar os resultados das partes (a) e (b).

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • O que é nível de confiança? É a probabilidade de que o intervalo de confiança construído a partir da amostra contenha a verdadeira proporção da população. Para nível de confiança 98\%, a probabilidade de erro na cauda é \alpha=1-0{,}98=0{,}02; cada cauda tem \alpha/2=0{,}01.
  • O valor crítico z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Para \alpha/2=0{,}01 obtemos o valor (tabela z) z_{\alpha/2}=z_{0{,}01}\approx 2{,}3263.(Esse valor vem da tabela da normal padrão; pode memorizar ou consultar uma tabela/ calculadora.)
  • Para proporções, o intervalo de confiança aproximado para a proporção p é \hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},onde \hat{p} é a proporção estimada (a partir da amostra) e n o tamanho da amostra.
  • A margem de erro E é E = z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.Rearranjando para n, obtemos a fórmula do tamanho da amostra para proporções: n=\dfrac{z_{\alpha/2}^2\;\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}.
    • Aqui: n = tamanho mínimo da amostra pedido.
    • z_{\alpha/2} = valor crítico da normal para o nível de confiança.
    • \hat{p} = estimativa da proporção (se não houver, usa-se \hat{p}=0{,}5 porque maximiza \hat{p}(1-\hat{p}) e, assim, dá o maior n, garantindo a precisão desejada).
    • E = margem de erro desejada (aqui E=0{,}04).

Passo 3

Aplicando a fórmula: parte (a) — sem estimativa prévia.
  • Como não há estimativa prévia, usamos \hat{p}=0{,}5 (caso “pior” que maximiza a variância).
  • Substituindo na fórmula: n=\dfrac{z_{0{,}01}^2\cdot 0{,}5(1-0{,}5)}{0{,}04^2}.
  • Calculando passo a passo: 0{,}5(1-0{,}5)=0{,}25.
z_{0{,}01}\approx 2{,}3263\quad\Rightarrow\quad z_{0{,}01}^2\approx 2{,}3263^2\approx 5{,}4117.
\text{Numerador}=5{,}4117\times 0{,}25 \approx 1{,}3529.
E^2 = 0{,}04^2 = 0{,}0016.
n \approx \dfrac{1{,}3529}{0{,}0016}\approx 845{,}56.
  • Regra prática: como n deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro seja no máximo E, arredondamos para cima: n_{\min}=846.

Passo 4

Aplicando a fórmula: parte (b) — usando estimativa prévia \hat{p}=0{,}30.
  • Agora \hat{p}=0{,}30, então \hat{p}(1-\hat{p})=0{,}30\times0{,}70=0{,}21.
  • Substituindo: n=\dfrac{z_{0{,}01}^2\cdot 0{,}21}{0{,}04^2}.
  • Calculando passo a passo: z_{0{,}01}^2\approx 5{,}4117\quad\Rightarrow\quad \text{Numerador}=5{,}4117\times 0{,}21\approx 1{,}1365.
n \approx \dfrac{1{,}1365}{0{,}0016}\approx 710{,}28.
  • Arredondando para cima: n_{\min}=711.

Passo 5

Comparação e interpretação (parte c).
  • Resultados numéricos:
    • Sem estimativa prévia (pior caso): n_{\min}=846.
    • Com estimativa prévia \hat{p}=0{,}30: n_{\min}=711.
  • Diferença absoluta: 846-711=135 observações a menos quando se usa a informação prévia.
  • Diferença percentual (redução relativa): \dfrac{846-711}{846}\approx 0{,}1594\approx 15{,}94\%.Ou seja, usar a estimativa prévia de 30\% reduz em cerca de 16\% o tamanho necessário da amostra.
  • Observação prática: se não houver confiança na estimação prévia, use o caso p=0{,}5 (mais conservador). Se a estimativa prévia for confiável, ela permite amostras menores e economia de custo/tempo.

Resposta

a) n_{\min}=846
b) n_{\min}=711
c) Redução de 135 observações, ou cerca de 15{,}94\% (usar \hat{p}=0{,}30 reduz o tamanho da amostra de 846 para 711).

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