Uso de serviços on-line. Você é um agente de viagens e quer estimar, com
de confiança, a proporção de pessoas em férias que usam um serviço on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem. Sua estimativa deve ter uma margem de erro de
.
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
dos pesquisados disseram que usavam um serviço on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem.
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
a) Não há estimativas prévias. Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária.
b) Encontre o tamanho mínimo da amostra necessária usando um estudo anterior que mostrou que
c) Compare os resultados das partes (a) e (b).
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados nos foram dados.
- Objetivo geral: estimar, com
de confiança, a proporção de pessoas em férias que usam um serviço on-line ou a Internet para fazer reservas de viagem, com margem de erro de . - Dados fornecidos:
- Nível de confiança:
. - Margem de erro (precisão desejada):
.
- Nível de confiança:
- Perguntas:
a) Calcular o tamanho mínimo da amostra quando não há estimativa prévia da proporção.
b) Calcular o tamanho mínimo da amostra usando a estimativa prévia.
c) Comparar os resultados das partes (a) e (b).
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
- O que é nível de confiança? É a probabilidade de que o intervalo de confiança construído a partir da amostra contenha a verdadeira proporção da população. Para nível de confiança
, a probabilidade de erro na cauda é ; cada cauda tem . - O valor crítico
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Para obtemos o valor (tabela z) (Esse valor vem da tabela da normal padrão; pode memorizar ou consultar uma tabela/ calculadora.) - Para proporções, o intervalo de confiança aproximado para a proporção
é onde é a proporção estimada (a partir da amostra) e o tamanho da amostra. - A margem de erro
é Rearranjando para , obtemos a fórmula do tamanho da amostra para proporções: - Aqui:
= tamanho mínimo da amostra pedido. -
= valor crítico da normal para o nível de confiança. -
= estimativa da proporção (se não houver, usa-se porque maximiza e, assim, dá o maior , garantindo a precisão desejada). -
= margem de erro desejada (aqui ).
- Aqui:
Passo 3
Aplicando a fórmula: parte (a) — sem estimativa prévia.
- Como não há estimativa prévia, usamos
(caso “pior” que maximiza a variância). - Substituindo na fórmula:
- Calculando passo a passo:
- Regra prática: como
deve ser inteiro e precisamos garantir que a margem de erro seja no máximo , arredondamos para cima:
Passo 4
Aplicando a fórmula: parte (b) — usando estimativa prévia
.
- Agora
, então . - Substituindo:
- Calculando passo a passo:
- Arredondando para cima:
Passo 5
Comparação e interpretação (parte c).
- Resultados numéricos:
- Sem estimativa prévia (pior caso):
. - Com estimativa prévia
: .
- Sem estimativa prévia (pior caso):
- Diferença absoluta:
observações a menos quando se usa a informação prévia. - Diferença percentual (redução relativa):
Ou seja, usar a estimativa prévia de reduz em cerca de o tamanho necessário da amostra. - Observação prática: se não houver confiança na estimação prévia, use o caso
(mais conservador). Se a estimativa prévia for confiável, ela permite amostras menores e economia de custo/tempo.
Resposta
a)
b)
c) Redução de observações, ou cerca de
(usar
reduz o tamanho da amostra de
para
).
b)
c) Redução de