(Conservação de energia) Uma bola de 0,2 \mathrm{~kg} é lançada do teto de um edifício, 20 m acima do chão. Sua velocidade inicial é de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, formando 30^{\circ} acima da horizontal. Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Massa da bola: m=0,2\\ \mathrm{kg}.
  • Altura inicial em relação ao chão (teto do edifício): h_0=20\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial: v_0=30\\ \mathrm{m/s}.
  • Direção do lançamento: \theta=30^\circ acima da horizontal.
  • Desprezar resistência do ar (portanto forças não conservativas desprezíveis).
Pergunta: Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola? (Ou seja, encontrar h_{\max}.)

Passo 2

Vamos usar a conservação da energia mecânica (porque não há resistência do ar): a energia mecânica total no instante inicial é igual à energia mecânica total no ponto de altura máxima.
Explanação das energias que usamos:
  • Energia cinética: K=\frac{1}{2} m v^{2}, onde m é a massa e v é a velocidade do corpo naquele instante.
  • Energia potencial gravitacional (tomando o chão como referência h=0): U=m g h, onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é a altura acima do chão.
No ponto mais alto:
  • A componente vertical da velocidade é zero, mas a componente horizontal permanece constante (não há forças horizontais). Logo, a bola pode ter velocidade horizontal não nula no topo, gerando energia cinética residual.
Equação de conservação de energia entre o instante inicial e o ponto mais alto:
K_{0}+U_{0}=K_{\text{top}}+U_{\text{top}}.
Queremos isolar U_{\text{top}}=m g h_{\max} e então obter h_{\max}.

Passo 3

Calcular as componentes da velocidade inicial (isso é necessário para saber quanta energia cinética sobra no topo):
A componente horizontal:
v_{0x}=v_{0}\cos\theta.
A componente vertical:
v_{0y}=v_{0}\sin\theta.
Substituindo v_{0}=30\\ \mathrm{m/s} e \theta=30^\circ. Sabemos que \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2} e \cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto:
v_{0y}=30\cdot\frac{1}{2}=15\\ \mathrm{m/s},
v_{0x}=30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 25,98\\ \mathrm{m/s}.
Observação útil: v_{0x}^{2}=(15\sqrt{3})^{2}=225\cdot 3=675.

Passo 4

Calcular as energias iniciais e no topo:
Energia cinética inicial:
K_{0}=\frac{1}{2}m v_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot 30^{2}=0,1\cdot 900=90\\ \mathrm{J}.
Energia cinética no topo (só a componente horizontal contribui):
K_{\text{top}}=\frac{1}{2}m v_{0x}^{2}=\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot 675=0,1\cdot 675=67,5\\ \mathrm{J}.
Energia potencial inicial:
U_{0}=m g h_{0}=0,2\cdot 9,8\cdot 20.
Não precisamos calcular U_0 numericamente agora, pois vamos trabalhar com a diferença de energias cinéticas para achar o acréscimo de altura; mas para ser explícito:
U_{0}=0,2\cdot 9,8\cdot 20=0,2\cdot 196=39,2\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Aplicar conservação de energia para encontrar a diferença de altura alcançada a partir do teto (variação de altura relativa ao ponto inicial):
Da equação K_{0}+U_{0}=K_{\text{top}}+U_{\text{top}} temos
U_{\text{top}}-U_{0}=K_{0}-K_{\text{top}}.
Mas U_{\text{top}}-U_{0}=m g (h_{\max}-h_{0}). Logo
m g (h_{\max}-h_{0})=K_{0}-K_{\text{top}}.
Isolando \Delta h = h_{\max}-h_{0}:
\Delta h=\frac{K_{0}-K_{\text{top}}}{m g}.
Substituindo os valores:
K_{0}-K_{\text{top}}=90-67,5=22,5\\ \mathrm{J},
m g=0,2\cdot 9,8=1,96\\ \mathrm{N}.
Portanto
\Delta h=\frac{22,5}{1,96}\approx 11,48\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Altura máxima acima do chão é a altura inicial mais esse acréscimo:
h_{\max}=h_{0}+\Delta h=20+11,48=31,48\\ \mathrm{m}.
Força final de incentivo: ótimo trabalho! A técnica usada é poderosa — conserve energia e lembre que a componente horizontal da velocidade não some, então sempre aparece energia cinética residual no topo se havia velocidade horizontal inicial.

Resposta

31,48\\ \mathrm{m}

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