(Conservação de energia) Uma bola de
é lançada do teto de um edifício, 20 m acima do chão. Sua velocidade inicial é de
, formando
acima da horizontal. Despreze a resistência do ar.
Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola?
Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Massa da bola:
. - Altura inicial em relação ao chão (teto do edifício):
. - Velocidade inicial:
. - Direção do lançamento:
acima da horizontal. - Desprezar resistência do ar (portanto forças não conservativas desprezíveis).
Pergunta: Qual é a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola? (Ou seja, encontrar
.)
Passo 2
Vamos usar a conservação da energia mecânica (porque não há resistência do ar): a energia mecânica total no instante inicial é igual à energia mecânica total no ponto de altura máxima.
Explanação das energias que usamos:
- Energia cinética:
onde é a massa e é a velocidade do corpo naquele instante. - Energia potencial gravitacional (tomando o chão como referência
): onde é a aceleração da gravidade ( ) e é a altura acima do chão.
No ponto mais alto:
- A componente vertical da velocidade é zero, mas a componente horizontal permanece constante (não há forças horizontais). Logo, a bola pode ter velocidade horizontal não nula no topo, gerando energia cinética residual.
Equação de conservação de energia entre o instante inicial e o ponto mais alto:
Queremos isolar
e então obter
.
Passo 3
Calcular as componentes da velocidade inicial (isso é necessário para saber quanta energia cinética sobra no topo):
A componente horizontal:
A componente vertical:
Substituindo
e
. Sabemos que
e
. Portanto:
Observação útil:
.
Passo 4
Calcular as energias iniciais e no topo:
Energia cinética inicial:
Energia cinética no topo (só a componente horizontal contribui):
Energia potencial inicial:
Não precisamos calcular
numericamente agora, pois vamos trabalhar com a diferença de energias cinéticas para achar o acréscimo de altura; mas para ser explícito:
Passo 5
Aplicar conservação de energia para encontrar a diferença de altura alcançada a partir do teto (variação de altura relativa ao ponto inicial):
Da equação
temos
Mas
. Logo
Isolando
:
Substituindo os valores:
Portanto
Passo 6
Altura máxima acima do chão é a altura inicial mais esse acréscimo:
Força final de incentivo: ótimo trabalho! A técnica usada é poderosa — conserve energia e lembre que a componente horizontal da velocidade não some, então sempre aparece energia cinética residual no topo se havia velocidade horizontal inicial.