(Conservação de energia) Uma bola de 0,2 \mathrm{~kg} é lançada do teto de um edifício, 20 m acima do chão. Sua velocidade inicial é de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, formando 30^{\circ} acima da horizontal. Despreze a resistência do ar.
Qual é a rapidez da bola ao chegar ao chão?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual é a rapidez da bola ao chegar ao chão?”
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • massa da bola: m=0,2\\ \mathrm{kg}.
  • altura inicial em relação ao chão: h=20\\ \mathrm{m}.
  • velocidade inicial (magnitude): v_i=30\\ \mathrm{m/s}, lançada a 30^\circ acima da horizontal.
  • despreza-se a resistência do ar.
  • aceleração da gravidade: usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado devagarzinho): Conservação da energia mecânica quando não há forças dissipativas (a resistência do ar foi desprezada). Isso significa que a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional no instante inicial é igual à soma quando a bola chega ao chão.
Definições e fórmulas importantes (cada símbolo explicado):
  • Energia cinética: energia associada ao movimento. Fórmula:
K=\tfrac{1}{2} m v^2
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e v é a rapidez (em \mathrm{m/s}). A unidade resultante é \mathrm{kg\cdot m^2/s^2} (joule).
  • Energia potencial gravitacional: energia associada à posição vertical. Fórmula (usando o chão como referência U=0):
U=m g h
onde g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}) e h é a altura (em \mathrm{m}).
Observação didática: a direção da velocidade (o ângulo) não entra diretamente na energia cinética — só interessa a magnitude v. Por isso o fato de o lançamento ser a 30^\circ não altera a energia inicial além do que já está em v_i.

Passo 3

Escrevendo a conservação da energia mecânica entre o instante inicial (subíndice i) e o instante final ao chegar ao chão (subíndice f, com U_f=0):
K_i + U_i = K_f + U_f
Substituindo as fórmulas:
\tfrac{1}{2} m v_i^2 + m g h = \tfrac{1}{2} m v_f^2 + 0

Passo 4

Simplificando a equação: como m aparece em todos os termos, podemos dividir ambos os lados por m (isso é útil: a rapidez final não depende da massa):
\tfrac{1}{2} v_i^2 + g h = \tfrac{1}{2} v_f^2
Isolando v_f:
v_f = \sqrt{v_i^2 + 2 g h}
Comentário prático: essa fórmula é muito útil na prova — ela mostra que a rapidez final depende apenas da rapidez inicial e da diferença de altura h. O ângulo do lançamento não entra porque energia cinética usa a rapidez (magnitude da velocidade).

Passo 5

Agora vamos substituir os valores numéricos (mantendo unidades em cada passo).
  • Primeiro v_i^2:
v_i^2 = (30\\ \mathrm{m/s})^2 = 900\\ \mathrm{m^2/s^2}
  • Agora 2 g h:
2 g h = 2 \cdot 9,8\\ \mathrm{m/s^2} \cdot 20\\ \mathrm{m} = 392\\ \mathrm{m^2/s^2}
  • Soma dos termos sob a raiz:
v_i^2 + 2 g h = 900 + 392 = 1292\\ \mathrm{m^2/s^2}

Passo 6

Portanto, pela fórmula do Passo 4,
v_f = \sqrt{1292}\\ \mathrm{m/s}
(Deixei essa última etapa em forma de raiz para mostrar a expressão exata; agora só falta calcular a raiz para obter a rapidez numérica.)

Resposta

35,94\\ \mathrm{m/s}

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