2 Suponha um cilindro de raio 8.5 cm e sujeito a um campo magnético B(t) período do movimento. =0.13 t Tesla, direcionado ao longo do cilindro. Determine: (a) Qual é o módulo do campo elétrico induzido \mathbf{E} em pontos onde r=5.2 \mathrm{~cm}. (b) Qual é o módulo do campo elétrico induzido em pontos onde r=12.5 \mathrm{~cm} ?
Passo 1
Dados do enunciado e o que é pedido.
Raio do cilindro: R = 8,5\\ \text{cm} = 0,085\\ \text{m}.
Campo magnético dependente do tempo: B(t)=0,13\,t\\ \text{T}.
Pedidos:
(a) módulo do campo elétrico induzido \mathbf{E} em pontos com r=5,2\\ \text{cm}=0,052\\ \text{m}.
(b) módulo do campo elétrico induzido \mathbf{E} em pontos com r=12,5\\ \text{cm}=0,125\\ \text{m}.
Passo 2
Princípio físico que usamos (apenas a fórmula, sem resolver ainda).
Usamos a forma integral da lei de Faraday para campos elétricos induzidos:
onde \Phi_B é o fluxo magnético através de uma superfície limitada pela curva da integral. Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico induzido tangencial à circunferência de raio r e d\boldsymbol{\ell} é um elemento de comprimento ao longo dessa circunferência.
Passo 3
Simetria e simplificação da integral.
Pela simetria (campo magnético uniforme e ao longo do eixo do cilindro) o campo elétrico induzido é tangencial e com mesmo módulo ao longo de uma circunferência de raio r. Assim:
Valor de \dfrac{dB}{dt} e substituição numérica.
Dado B(t)=0,13\,t\\ \text{T}, temos
\frac{dB}{dt}=0,13\\ \text{T/s}.
(a) Para r=0,052\\ \text{m} (note que r<R):
E = \frac{r}{2}\cdot 0,13 = \frac{0,052}{2}\times 0,13.
Calcule passo a passo:
\frac{0,052}{2}=0,026,
0,026\times 0,13 = 0,00338\\ \text{V/m}.
(b) Para r=0,125\\ \text{m} (note que r>R):
E = \frac{R^2}{2r}\cdot 0,13.
Calcule passo a passo:
R^2 = (0,085)^2 = 0,007225,
2r = 2\times 0,125 = 0,25,
\frac{R^2}{2r} = \frac{0,007225}{0,25} = 0,0289,
E = 0,0289\times 0,13 = 0,003757\\ \text{V/m}.
Passo 7
Interpretação curta e ânimo.
Os dois valores ficam da ordem de 10^{-3}\\ \text{V/m}. Note que o campo elétrico induzido cresce com r quando estamos dentro do cilindro (E\propto r) e decresce com r quando estamos fora (E\propto 1/r). Você já fez a parte difícil — as contas são diretas. Vai dar certo na prova!
Resposta
(a) E = 0,00338\\ \text{V/m}.
(b) E = 0,003757\\ \text{V/m}.