2 Suponha um cilindro de raio 8.5 cm e sujeito a um campo magnético B(t) período do movimento. =0.13 t Tesla, direcionado ao longo do cilindro. Determine: (a) Qual é o módulo do campo elétrico induzido \mathbf{E} em pontos onde r=5.2 \mathrm{~cm}. (b) Qual é o módulo do campo elétrico induzido em pontos onde r=12.5 \mathrm{~cm} ?

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido.
  • Raio do cilindro: R = 8,5\\ \text{cm} = 0,085\\ \text{m}.
  • Campo magnético dependente do tempo: B(t)=0,13\,t\\ \text{T}.
  • Pedidos:
    (a) módulo do campo elétrico induzido \mathbf{E} em pontos com r=5,2\\ \text{cm}=0,052\\ \text{m}.
    (b) módulo do campo elétrico induzido \mathbf{E} em pontos com r=12,5\\ \text{cm}=0,125\\ \text{m}.

Passo 2

Princípio físico que usamos (apenas a fórmula, sem resolver ainda).
Usamos a forma integral da lei de Faraday para campos elétricos induzidos:
\oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = -\frac{d\Phi_B}{dt},
onde \Phi_B é o fluxo magnético através de uma superfície limitada pela curva da integral. Aqui \mathbf{E} é o campo elétrico induzido tangencial à circunferência de raio r e d\boldsymbol{\ell} é um elemento de comprimento ao longo dessa circunferência.

Passo 3

Simetria e simplificação da integral.
Pela simetria (campo magnético uniforme e ao longo do eixo do cilindro) o campo elétrico induzido é tangencial e com mesmo módulo ao longo de uma circunferência de raio r. Assim:
\oint \mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell} = E\,(2\pi r),
onde E é o módulo do campo elétrico na circunferência de raio r.

Passo 4

Expressão do fluxo magnético dependendo se r<R ou r>R.
  • Se r<R: a superfície limitada pela circunferência de raio r intercepta área \pi r^2 do campo magnético, logo
\Phi_B = B(t)\,\pi r^2.
  • Se r>R: todo o fluxo associado ao cilindro passa pela circunferência, então a área efetiva é a área do cilindro \pi R^2, logo
\Phi_B = B(t)\,\pi R^2.

Passo 5

Derivação das fórmulas para E.
Aplicando a lei de Faraday e derivando o fluxo:
  • Caso r<R:
E(2\pi r) = -\frac{d}{dt}\big(B(t)\,\pi r^2\big).
Como r é constante na derivada temporal,
E(2\pi r) = -\pi r^2 \frac{dB}{dt}
e isolando E,
E = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.
O sinal negativo indica a direção (lei de Lenz); como perguntam o módulo, usaremos
E = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|.
  • Caso r>R:
E(2\pi r) = -\frac{d}{dt}\big(B(t)\,\pi R^2\big) = -\pi R^2 \frac{dB}{dt},
logo
E = -\frac{R^2}{2r}\,\frac{dB}{dt},
e, em módulo,
E = \frac{R^2}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|.

Passo 6

Valor de \dfrac{dB}{dt} e substituição numérica.
Dado B(t)=0,13\,t\\ \text{T}, temos
\frac{dB}{dt}=0,13\\ \text{T/s}.
(a) Para r=0,052\\ \text{m} (note que r<R):
E = \frac{r}{2}\cdot 0,13 = \frac{0,052}{2}\times 0,13.
Calcule passo a passo:
\frac{0,052}{2}=0,026,
0,026\times 0,13 = 0,00338\\ \text{V/m}.
(b) Para r=0,125\\ \text{m} (note que r>R):
E = \frac{R^2}{2r}\cdot 0,13.
Calcule passo a passo:
R^2 = (0,085)^2 = 0,007225,
2r = 2\times 0,125 = 0,25,
\frac{R^2}{2r} = \frac{0,007225}{0,25} = 0,0289,
E = 0,0289\times 0,13 = 0,003757\\ \text{V/m}.

Passo 7

Interpretação curta e ânimo.
Os dois valores ficam da ordem de 10^{-3}\\ \text{V/m}. Note que o campo elétrico induzido cresce com r quando estamos dentro do cilindro ( E\propto r) e decresce com r quando estamos fora ( E\propto 1/r). Você já fez a parte difícil — as contas são diretas. Vai dar certo na prova!

Resposta

(a) E = 0,00338\\ \text{V/m}.
(b) E = 0,003757\\ \text{V/m}.

Exercícios relacionados