A conservação da energia mecânica pode ser aplicada desde átomos até grandes objetos existentes.
Considere a seguinte situação:
Um satélite é colocado em órbita ao redor de um planeta, se movendo a uma velocidade constante e a uma altitude fixa.
Desse modo, pode-se considerar que:
A. A energia mecânica total do satélite será constante durante a órbita mesmo no vácuo.
B. A energia mecânica do satélite aumentará à medida que ele se afastar do planeta.
C. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele se afastar do planeta.
D. A energia potencial do satélite será menor à medida sua órbita se afastar do planeta.
E. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele orbitar o planeta devido ao vácuo.
Um satélite é colocado em órbita ao redor de um planeta, se movendo a uma velocidade constante e a uma altitude fixa.
Desse modo, pode-se considerar que:
Passo 1
O enunciado diz que um satélite está em órbita ao redor de um planeta, movendo-se com velocidade constante e a uma altitude fixa (ou seja, órbita circular). O enunciado apresenta cinco afirmativas (A a E) e pede que identifiquemos qual delas é correta:
- A. A energia mecânica total do satélite será constante durante a órbita mesmo no vácuo.
- B. A energia mecânica do satélite aumentará à medida que ele se afastar do planeta.
- C. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele se afastar do planeta.
- D. A energia potencial do satélite será menor à medida sua órbita se afastar do planeta.
- E. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele orbitar o planeta devido ao vácuo.
Informações relevantes dadas:
- Órbita circular: velocidade constante e altitude fixa (raio da órbita
constante enquanto ele fica nessa órbita). - Ambiente de vácuo (não há resistência do ar atuando).
- Pergunta sobre comportamento da energia mecânica e da energia potencial quando o satélite se afasta do planeta (isto é, quando
aumenta).
Passo 2
Vamos lembrar o que é energia mecânica e as fórmulas que usamos. Energia mecânica total
é a soma da energia cinética
com a energia potencial
:
Explicando cada termo:
-
é a energia cinética do satélite, definida por
onde
é a massa do satélite e
é sua velocidade.
-
é a energia potencial gravitacional no campo de um planeta (tomando o potencial igual a zero no infinito), dada por
onde
é a constante gravitacional,
é a massa do planeta e
é a distância do centro do planeta até o satélite. Note que
é negativo porque a referência
.
Vou repetir: toda vez que eu escrever
é massa do satélite,
massa do planeta,
raio da órbita,
velocidade orbital,
constante gravitacional.
Passo 3
Para uma órbita circular existe uma relação entre a velocidade
e o raio
que vem do equilíbrio entre a força centrípeta necessária e a força gravitacional. A força centrípeta é
e a força gravitacional é
. Igualando-as:
Podemos simplificar
e um fator
para obter:
Isso nos diz que para uma órbita circular mais distante (
maior), a velocidade orbital
é menor.
Passo 4
Agora calculemos a energia cinética
usando
encontrado:
Interpretação:
é positiva e depende de
como
. Se
aumenta,
diminui (porque
diminui).
Passo 5
Calculemos a energia potencial
(já lembrada antes):
Observe que
também depende de
como
, mas é negativa. Se
aumenta, a magnitude
diminui e
torna-se menos negativa (isto é, aumenta numericamente).
Passo 6
Somando
e
obtemos a energia mecânica total
:
Essa fórmula é muito importante: para uma órbita circular, a energia mecânica total é negativa e igual a
. Note como
depende de
.
Passo 7
Analisemos como
varia quando o satélite se afasta (ou seja, quando
aumenta). A expressão
mostra que, ao aumentar
, o valor absoluto do denominador cresce, fazendo com que o valor de
fique menos negativo. Por exemplo, se
aumenta,
muda de
para
(números ilustrativos): isso é um aumento no sentido numérico (vai em direção a zero). Matematicamente, podemos ver o sinal da variação calculando a derivada:
Portanto
aumenta quando
aumenta.
Passo 8
Vamos também resumir o comportamento separado de
e
ao aumentar
:
- Energia cinética
. Quando aumenta, diminui. - Energia potencial
. Quando aumenta, torna-se menos negativa, ou seja, numericamente aumenta (por exemplo, passa de para ). Em linguagem simples: a energia potencial gravitacional aumenta quando se afasta do planeta (porque o poço gravitacional fica menos profundo). - Energias juntas:
aumenta com (fica menos negativa).
Passo 9
Agora confrontamos essas conclusões com as alternativas:
- A. Diz que a energia mecânica total será constante durante a órbita mesmo no vácuo. Comentário: se o satélite permanece numa órbita circular de raio fixo, então
não muda e realmente é constante durante essa órbita. A frase “mesmo no vácuo” é estranha — vácuo não causa dissipação; na verdade, a ausência de resistência ajuda a conservar energia. Mas a alternativa A afirma que será constante “durante a órbita” (ou seja, enquanto fixo) — isso é verdade, mas a pergunta principal está comparando comportamento quando se afasta do planeta. A alternativa A não responde à pergunta sobre o que acontece ao se afastar; é uma afirmação verdadeira em si (energia constante se fixo), porém a alternativa B trata diretamente do que ocorre quando varia. Vamos manter isso em mente. - B. Diz que a energia mecânica aumentará à medida que ele se afastar do planeta. De acordo com a fórmula
e com a derivada, isto é correto: ao aumentar , aumenta (tende a zero). - C. Diz que a energia mecânica diminuirá ao se afastar. Isso contraria o resultado matemático: é falso.
- D. Diz que a energia potencial será menor à medida que a órbita se afastar. Como vimos,
é negativo e torna-se numericamente maior (menos negativo) ao aumentar ; portanto dizer “será menor” (que interpreta normalmente como um número menor) é incorreto. Se a frase interpretasse “menor em magnitude”, poderia causar ambiguidade, mas a leitura natural indica que está errada: aumenta quando aumenta. - E. Diz que a energia mecânica diminuirá à medida que ele orbitar devido ao vácuo. Em primeiro lugar, vácuo não provoca diminuição de energia por si só; em segundo, se a órbita é circular e sem forças dissipativas, a energia fica constante. Então E é falsa.
Passo 10
Conclusão: a alternativa que coincide com o resultado físico e matemático é a alternativa B: a energia mecânica total do satélite aumenta (fica menos negativa) quando ele se afasta do planeta.
Força de incentivo: você está indo bem ao pedir passo a passo — essa derivação é padrão em provas. Lembre-se: relação entre força centrípeta e gravitacional dá
, daí vem
e
e toda a conclusão fica direta.
Resposta
B