A conservação da energia mecânica pode ser aplicada desde átomos até grandes objetos existentes.
Considere a seguinte situação:
Um satélite é colocado em órbita ao redor de um planeta, se movendo a uma velocidade constante e a uma altitude fixa.
Desse modo, pode-se considerar que:
\bigcirc A. A energia mecânica total do satélite será constante durante a órbita mesmo no vácuo.
\bigcirc B. A energia mecânica do satélite aumentará à medida que ele se afastar do planeta.
\bigcirc C. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele se afastar do planeta.
\bigcirc D. A energia potencial do satélite será menor à medida sua órbita se afastar do planeta.
\bigcirc E. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele orbitar o planeta devido ao vácuo.

Passo 1

O enunciado diz que um satélite está em órbita ao redor de um planeta, movendo-se com velocidade constante e a uma altitude fixa (ou seja, órbita circular). O enunciado apresenta cinco afirmativas (A a E) e pede que identifiquemos qual delas é correta:
  • A. A energia mecânica total do satélite será constante durante a órbita mesmo no vácuo.
  • B. A energia mecânica do satélite aumentará à medida que ele se afastar do planeta.
  • C. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele se afastar do planeta.
  • D. A energia potencial do satélite será menor à medida sua órbita se afastar do planeta.
  • E. A energia mecânica do satélite diminuirá à medida que ele orbitar o planeta devido ao vácuo.
Informações relevantes dadas:
  • Órbita circular: velocidade constante e altitude fixa (raio da órbita r constante enquanto ele fica nessa órbita).
  • Ambiente de vácuo (não há resistência do ar atuando).
  • Pergunta sobre comportamento da energia mecânica e da energia potencial quando o satélite se afasta do planeta (isto é, quando r aumenta).

Passo 2

Vamos lembrar o que é energia mecânica e as fórmulas que usamos. Energia mecânica total E é a soma da energia cinética K com a energia potencial U:
E = K + U.
Explicando cada termo:
  • K é a energia cinética do satélite, definida por
K = \tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa do satélite e v é sua velocidade.
  • U é a energia potencial gravitacional no campo de um planeta (tomando o potencial igual a zero no infinito), dada por
U = -\dfrac{G M m}{r},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa do planeta e r é a distância do centro do planeta até o satélite. Note que U é negativo porque a referência U(\infty)=0.
Vou repetir: toda vez que eu escrever m é massa do satélite, M massa do planeta, r raio da órbita, v velocidade orbital, G constante gravitacional.

Passo 3

Para uma órbita circular existe uma relação entre a velocidade v e o raio r que vem do equilíbrio entre a força centrípeta necessária e a força gravitacional. A força centrípeta é m v^{2}/r e a força gravitacional é G M m / r^{2}. Igualando-as:
\dfrac{m v^{2}}{r} = \dfrac{G M m}{r^{2}}.
Podemos simplificar m e um fator r para obter:
v^{2} = \dfrac{G M}{r}.
Isso nos diz que para uma órbita circular mais distante ( r maior), a velocidade orbital v é menor.

Passo 4

Agora calculemos a energia cinética K usando v^{2} encontrado:
K = \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} m \left(\dfrac{G M}{r}\right) = \dfrac{G M m}{2 r}.
Interpretação: K é positiva e depende de r como 1/r. Se r aumenta, K diminui (porque 1/r diminui).

Passo 5

Calculemos a energia potencial U (já lembrada antes):
U = -\dfrac{G M m}{r}.
Observe que U também depende de r como 1/r, mas é negativa. Se r aumenta, a magnitude |U| diminui e U torna-se menos negativa (isto é, aumenta numericamente).

Passo 6

Somando K e U obtemos a energia mecânica total E:
E = K + U = \dfrac{G M m}{2 r} - \dfrac{G M m}{r} = -\dfrac{G M m}{2 r}.
Essa fórmula é muito importante: para uma órbita circular, a energia mecânica total é negativa e igual a -G M m/(2 r). Note como E depende de r.

Passo 7

Analisemos como E varia quando o satélite se afasta (ou seja, quando r aumenta). A expressão
E(r) = -\dfrac{G M m}{2 r}
mostra que, ao aumentar r, o valor absoluto do denominador cresce, fazendo com que o valor de E fique menos negativo. Por exemplo, se r aumenta, E muda de -10 para -5 (números ilustrativos): isso é um aumento no sentido numérico (vai em direção a zero). Matematicamente, podemos ver o sinal da variação calculando a derivada:
\dfrac{dE}{dr} = -\left(-\dfrac{G M m}{2 r^{2}}\right) = \dfrac{G M m}{2 r^{2}}>0.
Portanto E aumenta quando r aumenta.

Passo 8

Vamos também resumir o comportamento separado de K e U ao aumentar r:
  • Energia cinética K = \dfrac{G M m}{2 r}. Quando r aumenta, K diminui.
  • Energia potencial U = -\dfrac{G M m}{r}. Quando r aumenta, U torna-se menos negativa, ou seja, numericamen­te U aumenta (por exemplo, passa de -100 para -50). Em linguagem simples: a energia potencial gravitacional aumenta quando se afasta do planeta (porque o poço gravitacional fica menos profundo).
  • Energias juntas: E = -\dfrac{G M m}{2 r} aumenta com r (fica menos negativa).

Passo 9

Agora confrontamos essas conclusões com as alternativas:
  • A. Diz que a energia mecânica total será constante durante a órbita mesmo no vácuo. Comentário: se o satélite permanece numa órbita circular de raio fixo, então r não muda e E realmente é constante durante essa órbita. A frase “mesmo no vácuo” é estranha — vácuo não causa dissipação; na verdade, a ausência de resistência ajuda a conservar energia. Mas a alternativa A afirma que será constante “durante a órbita” (ou seja, enquanto r fixo) — isso é verdade, mas a pergunta principal está comparando comportamento quando se afasta do planeta. A alternativa A não responde à pergunta sobre o que acontece ao se afastar; é uma afirmação verdadeira em si (energia constante se r fixo), porém a alternativa B trata diretamente do que ocorre quando r varia. Vamos manter isso em mente.
  • B. Diz que a energia mecânica aumentará à medida que ele se afastar do planeta. De acordo com a fórmula E = -\dfrac{G M m}{2 r} e com a derivada, isto é correto: ao aumentar r, E aumenta (tende a zero).
  • C. Diz que a energia mecânica diminuirá ao se afastar. Isso contraria o resultado matemático: é falso.
  • D. Diz que a energia potencial será menor à medida que a órbita se afastar. Como vimos, U é negativo e torna-se numericamente maior (menos negativo) ao aumentar r; portanto dizer “será menor” (que interpreta normalmente como um número menor) é incorreto. Se a frase interpretasse “menor em magnitude”, poderia causar ambiguidade, mas a leitura natural indica que está errada: U aumenta quando r aumenta.
  • E. Diz que a energia mecânica diminuirá à medida que ele orbitar devido ao vácuo. Em primeiro lugar, vácuo não provoca diminuição de energia por si só; em segundo, se a órbita é circular e sem forças dissipativas, a energia fica constante. Então E é falsa.

Passo 10

Conclusão: a alternativa que coincide com o resultado físico e matemático é a alternativa B: a energia mecânica total do satélite aumenta (fica menos negativa) quando ele se afasta do planeta.
Força de incentivo: você está indo bem ao pedir passo a passo — essa derivação é padrão em provas. Lembre-se: relação entre força centrípeta e gravitacional dá v^{2}=GM/r, daí vem K e E e toda a conclusão fica direta.

Resposta

B

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