- Conservação de massa Seja
um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região
no espaço e seja
uma função escalar continuamente diferenciável. A variável
representa o domínio de tempo. A lei da conservação de massa afirma que
onde
é a superfície delimitando
.
a. Forneça uma interpretação física da lei da conservação de massa se
for um campo de velocidade do escoamento e
representar a densidade do fluido em um ponto
no instante
.
b. Utilize o teorema da divergência e a regra de Leibniz,
para mostrar que a lei da conservação de massa é equivalente à equação de continuidade,
(No primeiro termo
, a variável
é mantida fixa, e no segundo termo
, é considerado que o ponto
em
seja mantido fixo.)
a. Forneça uma interpretação física da lei da conservação de massa se
b. Utilize o teorema da divergência e a regra de Leibniz,
Passo 1
O enunciado afirma que, para um campo de velocidade
e uma densidade escalar
sobre uma região fixa
com fronteira
, vale
Pede-se (a) interpretar fisicamente essa igualdade quando
é densidade de um fluido e
sua velocidade e (b) usar o teorema da divergência e a regra de Leibniz para mostrar que isso implica a equação de continuidade
Passo 2
Interpretação física (parte a).
- O termo
é a taxa de variação do volume total de massa dentro de. - O fluxo de massa que sai pela superfície
é dado por
: se sai massa, se entra. - A lei diz que a variação interna de massa é exatamente o negativo do que sai pelo contorno, garantindo que não há criação nem destruição de massa.
Passo 3
Aplicar a regra de Leibniz (o domínio
é fixo em
). Então
Passo 4
Aplicar o teorema da divergência à integral de superfície. Como
é continuamente diferenciável,
Passo 5
Substituindo Passo 3 e Passo 4 na lei de conservação:
Como
é arbitrário, o integrando deve ser zero em cada ponto, de onde surge a equação de continuidade
Resposta
(a) A equação diz que a taxa de variação da massa total dentro de
é igual ao negativo do fluxo de massa que atravessa a superfície
; em outras palavras, qualquer perda (ou ganho) de massa em
corresponde exatamente à massa que sai (ou entra) por
.
(b) Usando a regra de Leibniz e o teorema da divergência chegamos à forma diferencial da conservação de massa, a equação de continuidade
(b) Usando a regra de Leibniz e o teorema da divergência chegamos à forma diferencial da conservação de massa, a equação de continuidade