1. Conservação de massa Seja \mathbf{v}(t, x, y, z) um campo vetorial continuamente diferenciável sobre a região D no espaço e seja p(t, x, y, z) uma função escalar continuamente diferenciável. A variável t representa o domínio de tempo. A lei da conservação de massa afirma que
\frac{d}{d t} \iiint_{D} p(t, x, y, z) d V=-\iint_{S} p \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d \sigma
onde S é a superfície delimitando D.
a. Forneça uma interpretação física da lei da conservação de massa se \mathbf{v} for um campo de velocidade do escoamento e p representar a densidade do fluido em um ponto (x, y, z) no instante t.
b. Utilize o teorema da divergência e a regra de Leibniz,
\frac{d}{d t} \iiint_{D} p(t, x, y, z) d V=\iiint_{D} \frac{\partial p}{\partial t} d V
para mostrar que a lei da conservação de massa é equivalente à equação de continuidade,
\nabla \cdot p \mathbf{v}+\frac{\partial p}{\partial t}=0
(No primeiro termo \nabla \cdot p \mathbf{v}, a variável t é mantida fixa, e no segundo termo \partial p / \partial t, é considerado que o ponto (x, y, z) em D seja mantido fixo.)

Passo 1

O enunciado afirma que, para um campo de velocidade \mathbf{v}(t,x,y,z) e uma densidade escalar p(t,x,y,z) sobre uma região fixa D com fronteira S, vale
\frac{d}{d t}\iiint_{D}p\,dV \;=\;- \iint_{S} p\,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}\,d\sigma.
Pede-se (a) interpretar fisicamente essa igualdade quando p é densidade de um fluido e \mathbf v sua velocidade e (b) usar o teorema da divergência e a regra de Leibniz para mostrar que isso implica a equação de continuidade
\nabla\cdot(p\mathbf v)+\frac{\partial p}{\partial t}=0.

Passo 2

Interpretação física (parte a).
  • O termo
    \displaystyle \frac{d}{dt}\iiint_D p\,dV
    é a taxa de variação do volume total de massa dentro de D.
  • O fluxo de massa que sai pela superfície S é dado por
    \displaystyle \iint_{S}p\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,d\sigma: se \mathbf v\cdot\mathbf n>0 sai massa, se <0 entra.
  • A lei diz que a variação interna de massa é exatamente o negativo do que sai pelo contorno, garantindo que não há criação nem destruição de massa.

Passo 3

Aplicar a regra de Leibniz (o domínio D é fixo em t). Então
\frac{d}{dt}\iiint_{D}p(t,x,y,z)\,dV = \iiint_{D}\frac{\partial p}{\partial t}(t,x,y,z)\,dV.

Passo 4

Aplicar o teorema da divergência à integral de superfície. Como p\mathbf v é continuamente diferenciável,
\iint_{S}p\,\mathbf v\cdot\mathbf n\,d\sigma = \iiint_{D}\nabla\cdot\bigl(p\,\mathbf v\bigr)\,dV.

Passo 5

Substituindo Passo 3 e Passo 4 na lei de conservação:
\iiint_{D}\frac{\partial p}{\partial t}\,dV = -\,\iiint_{D}\nabla\cdot(p\mathbf v)\,dV \;\;\Longrightarrow\;\; \iiint_{D}\Bigl(\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla\cdot(p\mathbf v)\Bigr)\,dV=0.
Como D é arbitrário, o integrando deve ser zero em cada ponto, de onde surge a equação de continuidade
\frac{\partial p}{\partial t}+\nabla\cdot(p\,\mathbf v)=0.

Resposta

(a) A equação diz que a taxa de variação da massa total dentro de D é igual ao negativo do fluxo de massa que atravessa a superfície S; em outras palavras, qualquer perda (ou ganho) de massa em D corresponde exatamente à massa que sai (ou entra) por S.
(b) Usando a regra de Leibniz e o teorema da divergência chegamos à forma diferencial da conservação de massa, a equação de continuidade
\nabla\cdot(p\,\mathbf v)+\frac{\partial p}{\partial t}=0.

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