- Funções harmônicas Uma função
é considerada harmônica em uma região
no espaço se ela satisfaz a equação de Laplace
em
.
a. Suponha que
seja harmônica em uma região
limitada por uma superfície lisa
e que n seja o vetor normal unitário escolhido em
. Mostre que a integral sobre
de
, a derivada de
na direção de
, é zero.
b. Mostre que se
é harmônica em
, então
a. Suponha que
b. Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que
é harmônica em
, isto é,
em
, cujo contorno é a superfície lisa
com normal unitária
. Vamos usar o Teorema da Divergência, que afirma para um campo vetorial
:
Passo 2
Para mostrar que
escolhemos
. Então
em
. Pelo Teorema da Divergência,
Passo 3
Para mostrar que
definimos o campo
. Calculamos a divergência usando a regra do produto:
Pelo Teorema da Divergência,
Resposta
a)
b)
b)