As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são dadas por x(t)=3 t^{2} e y=2 t^{3}. Qual será a distância percorrida pela partícula entre os instantes t=0 e t=1 ?

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da trajetória de uma partícula no plano,
x(t)=3t^{2},\quad y(t)=2t^{3},
e pede a distância percorrida entre t=0 e t=1. O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica, que usa a fórmula
L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\bigl(\dot x(t)\bigr)^{2}+\bigl(\dot y(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada coordenada em relação a t:
\dot x(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}\bigr)=6t, \qquad \dot y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(2t^{3}\bigr)=6t^{2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L=\int_{0}^{1}\sqrt{(6t)^{2}+(6t^{2})^{2}}\;dt =\int_{0}^{1}\sqrt{36t^{2}+36t^{4}}\;dt =\int_{0}^{1}6t\sqrt{1+t^{2}}\;dt.

Passo 4

Para resolver \displaystyle\int_{0}^{1}6t\sqrt{1+t^{2}}\;dt, fazemos a substituição
u=1+t^{2},\quad du=2t\,dt\;\Longrightarrow\;t\,dt=\frac{du}{2}.
Quando t=0 temos u=1; quando t=1 temos u=2. Então
L =6\int_{0}^{1}t\sqrt{1+t^{2}}\,dt =6\int_{u=1}^{u=2}\sqrt{u}\,\frac{du}{2} =3\int_{1}^{2}u^{\tfrac12}\,du.

Passo 5

Calculamos o integral em u:
3\int_{1}^{2}u^{\tfrac12}\,du =3\biggl[\frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32}\biggr]_{1}^{2} =3\cdot\frac{2}{3}\bigl(2^{\tfrac32}-1^{\tfrac32}\bigr) =2\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr) =4\sqrt{2}-2.

Resposta

A distância percorrida pela partícula entre t=0 e t=1 é
4\sqrt{2}-2.

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