Seja R a região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2}.
(a) Esboce a região R.
(b) Calcule a área de R.
(c) Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x.
(d) Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região R em torno da reta y=2.
Passo 1
O enunciado apresenta a região R limitada pelas curvas y=x e y=x^2. Pede:
(a) esboçar R;
(b) calcular a área de R;
(c) volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x;
(d) volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=2.
O conteúdo envolve cálculo de integrais para áreas e volumes pelos métodos de discos e anéis. Vamos precisar achar os pontos de interseção, configurar integrais de diferença de funções e aplicar as fórmulas de volume.
Passo 2
Para esboçar R encontramos as interseções de y=x e y=x^2 resolvendo
x = x^2 \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0\;\Longrightarrow\; x=0,1.
No intervalo 0\le x\le1, a parábola y=x^2 fica abaixo da reta y=x. Assim, R=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^2\le y\le x\bigr\}. No esboço, desenhe a reta e a parábola entre x=0 e x=1 e sombreie a região entre elas.