Seja R a região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2}.
(a) Esboce a região R.
(b) Calcule a área de R.
(c) Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x.
(d) Calcule o volume do solido obtido pela rotação da região R em torno da reta y=2.

Passo 1

O enunciado apresenta a região R limitada pelas curvas y=x e y=x^2. Pede:
  • (a) esboçar R;
  • (b) calcular a área de R;
  • (c) volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x;
  • (d) volume do sólido obtido ao girar R em torno da reta y=2.
    O conteúdo envolve cálculo de integrais para áreas e volumes pelos métodos de discos e anéis. Vamos precisar achar os pontos de interseção, configurar integrais de diferença de funções e aplicar as fórmulas de volume.

Passo 2

Para esboçar R encontramos as interseções de y=x e y=x^2 resolvendo
x = x^2 \;\Longrightarrow\; x(x-1)=0\;\Longrightarrow\; x=0,1.
No intervalo 0\le x\le1, a parábola y=x^2 fica abaixo da reta y=x. Assim, R=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x^2\le y\le x\bigr\}. No esboço, desenhe a reta e a parábola entre x=0 e x=1 e sombreie a região entre elas.

Passo 3

A área de R é
A = \int_{0}^{1}\bigl(\underbrace{x}_{\text{sup}} - \underbrace{x^2}_{\text{inf}}\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}(x - x^2)\,dx = \left[\tfrac12 x^2 - \tfrac13 x^3\right]_{0}^{1} = \tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac16.

Passo 4

Ao girar R em torno do eixo x, usamos discos/ anéis com raio externo y=x e interno y=x^2:
V_x = \pi \int_{0}^{1}\bigl(x^2 - (x^2)^2\bigr)\,dx = \pi \int_{0}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx = \pi\bigl[\tfrac13 x^3 - \tfrac15 x^5\bigr]_{0}^{1} = \pi\bigl(\tfrac13 - \tfrac15\bigr) = \tfrac{2\pi}{15}.

Passo 5

Para girar R em torno da reta y=2 aplicamos anéis cuja reta y=2 está acima da região. Em cada x, o raio externo é
R(x) = 2 - y_{\min} = 2 - x^2,
e o interno
r(x) = 2 - y_{\max} = 2 - x.
Logo
V_{y=2} = \pi \int_{0}^{1}\bigl[(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2\bigr]\,dx.
Expandindo
(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2 = (4 - 4x^2 + x^4) - (4 - 4x + x^2) = x^4 - 5x^2 + 4x,
e integrando
V_{y=2} = \pi \int_{0}^{1}(x^4 - 5x^2 + 4x)\,dx = \pi\bigl[\tfrac15 x^5 - \tfrac53 x^3 + 2x^2\bigr]_{0}^{1} = \pi\cdot \tfrac{8}{15} = \tfrac{8\pi}{15}.

Resposta

(a) Região definida por 0\le x\le1 e x^2\le y\le x, conforme esboço.
(b) \tfrac16.
(c) \tfrac{2\pi}{15}.
(d) \tfrac{8\pi}{15}.

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