Conservação de momento angular, momento de inércia, função de movimento, torque. Um disco plástico tem raio de
e momento de inércia
, definido em relação a um eixo de rotação que passa no seu centro. Sobre o disco foram colocadas 3 peças de ferro de 0.42 kg cada, todas posicionadas na sua borda. Sobre o conjunto atua um torque
que atua durante 2.5 segundos e então é liberado girar livremente (sem atritos ou torques).
f) Encontre a velocidade angular no instante
.
g) Qual a nova velocidade angular de rotação em rad/s quando duas peças de ferro são retiradas com um imã?
f) Encontre a velocidade angular no instante
g) Qual a nova velocidade angular de rotação em rad/s quando duas peças de ferro são retiradas com um imã?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Dados:
(raio do disco)
(momento de inércia do disco em relação ao eixo no centro)
Três peças de ferro, cada uma com massa , estão colocadas na borda do disco (portanto à distância
do eixo).
Um torque constante atua sobre o conjunto durante
. Após esse tempo o sistema é liberado para girar sem atrito.
Perguntas:
f) Encontre a velocidade angular no instante (ou seja, a velocidade angular adquirida durante a ação do torque).
g) Depois, quando duas peças de ferro são retiradas com um ímã (ficando apenas 1 peça na borda), qual é a nova velocidade angular de rotação em ?
Três peças de ferro, cada uma com massa
Um torque constante
Perguntas:
f) Encontre a velocidade angular no instante
g) Depois, quando duas peças de ferro são retiradas com um ímã (ficando apenas 1 peça na borda), qual é a nova velocidade angular de rotação em
Passo 2
Entender o que precisamos calcular primeiro: ao aplicar um torque constante sobre um corpo com momento de inércia
, ele ganha uma aceleração angular
dada pela relação fundamental entre torque e aceleração angular. A fórmula é:
onde
é o torque (em
),
é o momento de inércia total do sistema (em
) e
é a aceleração angular (em
). Vou explicar como montar
do sistema (disco + massas na borda) antes de usar essa relação.
Passo 3
Momento de inércia das três peças (modelo de massa pontual na borda). Para uma partícula de massa
a distância
do eixo, o momento de inércia é
Aqui temos três peças idênticas, então o momento de inércia total das peças é
Vamos calcular numericamente. Primeiro
:
Agora
Passo 4
Momento de inércia total do sistema enquanto as três peças estão presas:
Passo 5
Calcular a aceleração angular
durante a aplicação do torque usando
. Isolando
:
Substituindo os valores:
Explicando: isso significa que a velocidade angular cresce à razão de cerca de
a cada segundo enquanto o torque atua.
Passo 6
Velocidade angular no instante
, assumindo que o sistema partiu do repouso (
). Para aceleração angular constante:
Assim,
Observação útil (cheque rápido): o impulso angular
é igual à variação do momento angular
. Calculando
com os valores acima obtemos
, consistente com o impulso angular — bom sinal de consistência.
Passo 7
Situação após a retirada de duas peças com ímã. Quando as duas peças são retiradas, o momento de inércia do sistema muda; se a retirada é feita de forma que não haja torque externo significativo durante o processo (pressuposto usual ao “retirar com um ímã” sem prender o disco), então o momento angular
do sistema é conservado no instante da retirada. Explico as fórmulas envolvidas:
Momento angular de um corpo rígido que gira é
onde
é o momento de inércia do conjunto e
a velocidade angular. Se não há torque externo,
antes da troca =
depois da troca.
Passo 8
Momento de inércia após remover duas peças (fica 1 peça na borda):
Passo 9
Usar conservação do momento angular. Momento angular imediatamente antes da retirada (que calculamos no passo 6) é
Assumindo conservação (nenhum torque externo na retirada),
Logo a nova velocidade angular é
Passo 10
Resumo numérico e interpretação rápida: ao tirar massa do sistema sem aplicar torque externo, o momento de inércia diminui e, para conservar o momento angular, a velocidade angular aumenta. Aqui ela sobe de aproximadamente
para aproximadamente
. Força um pouco de ânimo: esses cálculos fecham bonito porque o impulso angular
foi exatamente
, o que simplificou as contas.