Conservação de momento angular, momento de inércia, função de movimento, torque. Um disco plástico tem raio de \mathrm{r}=0,4 \mathrm{~m} e momento de inércia \mathrm{I}=0.2 \mathrm{kgm}^{2}, definido em relação a um eixo de rotação que passa no seu centro. Sobre o disco foram colocadas 3 peças de ferro de 0.42 kg cada, todas posicionadas na sua borda. Sobre o conjunto atua um torque \tau=1.2 N . m que atua durante 2.5 segundos e então é liberado girar livremente (sem atritos ou torques).
f) Encontre a velocidade angular no instante \mathrm{t}=2.5 \mathrm{~s}.
g) Qual a nova velocidade angular de rotação em rad/s quando duas peças de ferro são retiradas com um imã?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas. Dados:
r=0,4\\ \mathrm{m} (raio do disco)
I_{\text{disco}}=0,2\\ \mathrm{kg\,m^{2}} (momento de inércia do disco em relação ao eixo no centro)
Três peças de ferro, cada uma com massa m=0,42\\ \mathrm{kg}, estão colocadas na borda do disco (portanto à distância r do eixo).
Um torque constante \tau=1,2\\ \mathrm{N\cdot m} atua sobre o conjunto durante t=2,5\\ \mathrm{s}. Após esse tempo o sistema é liberado para girar sem atrito.
Perguntas:
f) Encontre a velocidade angular no instante t=2,5\\ \mathrm{s} (ou seja, a velocidade angular adquirida durante a ação do torque).
g) Depois, quando duas peças de ferro são retiradas com um ímã (ficando apenas 1 peça na borda), qual é a nova velocidade angular de rotação em \mathrm{rad/s}?

Passo 2

Entender o que precisamos calcular primeiro: ao aplicar um torque constante sobre um corpo com momento de inércia I, ele ganha uma aceleração angular \alpha dada pela relação fundamental entre torque e aceleração angular. A fórmula é:
\tau = I\,\alpha,
onde \tau é o torque (em \mathrm{N\cdot m}), I é o momento de inércia total do sistema (em \mathrm{kg\,m^{2}}) e \alpha é a aceleração angular (em \mathrm{rad/s^{2}}). Vou explicar como montar I do sistema (disco + massas na borda) antes de usar essa relação.

Passo 3

Momento de inércia das três peças (modelo de massa pontual na borda). Para uma partícula de massa m a distância r do eixo, o momento de inércia é
I_{\text{ponto}} = m r^{2}.
Aqui temos três peças idênticas, então o momento de inércia total das peças é
I_{\text{peças}} = 3 \cdot m r^{2}.ç
Vamos calcular numericamente. Primeiro r^{2}:
r^{2} = (0,4)^{2} = 0,16\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora
I_{\text{peças}} = 3 \cdot 0,42 \cdot 0,16 = 0,2016\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.ç

Passo 4

Momento de inércia total do sistema enquanto as três peças estão presas:
I_{\text{total}} = I_{\text{disco}} + I_{\text{peças}} = 0,2 + 0,2016 = 0,4016\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.ç

Passo 5

Calcular a aceleração angular \alpha durante a aplicação do torque usando \tau = I\,\alpha. Isolando \alpha:
\alpha = \frac{\tau}{I_{\text{total}}}.
Substituindo os valores:
\alpha = \frac{1,2}{0,4016}\\ \mathrm{rad/s^{2}} \approx 2,988\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Explicando: isso significa que a velocidade angular cresce à razão de cerca de 2,988\\ \mathrm{rad/s} a cada segundo enquanto o torque atua.

Passo 6

Velocidade angular no instante t=2,5\\ \mathrm{s}, assumindo que o sistema partiu do repouso ( \omega_{0}=0). Para aceleração angular constante:
\omega(t) = \omega_{0} + \alpha t.
Assim,
\omega(2,5\\ \mathrm{s}) = 0 + \alpha\cdot 2,5 = 2,988\cdot 2,5 \approx 7,470\\ \mathrm{rad/s}.
Observação útil (cheque rápido): o impulso angular \tau\,t = 1,2\cdot 2,5 = 3,0\\ \mathrm{N\cdot m\cdot s} é igual à variação do momento angular \Delta L. Calculando L = I_{\text{total}}\omega com os valores acima obtemos L \approx 0,4016\cdot 7,470 \approx 3,00, consistente com o impulso angular — bom sinal de consistência.

Passo 7

Situação após a retirada de duas peças com ímã. Quando as duas peças são retiradas, o momento de inércia do sistema muda; se a retirada é feita de forma que não haja torque externo significativo durante o processo (pressuposto usual ao “retirar com um ímã” sem prender o disco), então o momento angular L do sistema é conservado no instante da retirada. Explico as fórmulas envolvidas:
Momento angular de um corpo rígido que gira é
L = I \,\omega,
onde I é o momento de inércia do conjunto e \omega a velocidade angular. Se não há torque externo, L antes da troca = L depois da troca.

Passo 8

Momento de inércia após remover duas peças (fica 1 peça na borda):
I_{\text{novo}} = I_{\text{disco}} + 1\cdot m r^{2} = 0,2 + 0,42\cdot 0,16 = 0,2 + 0,0672 = 0,2672\\ \mathrm{kg\,m^{2}}.

Passo 9

Usar conservação do momento angular. Momento angular imediatamente antes da retirada (que calculamos no passo 6) é
L_{\text{antes}} = I_{\text{total}} \,\omega_{\text{antes}} \approx 0,4016\cdot 7,470 \approx 3,00\\ \mathrm{kg\,m^{2}/s}.
Assumindo conservação (nenhum torque externo na retirada),
L_{\text{depois}} = L_{\text{antes}} = I_{\text{novo}} \,\omega_{\text{depois}}.
Logo a nova velocidade angular é
\omega_{\text{depois}} = \frac{L_{\text{antes}}}{I_{\text{novo}}} \approx \frac{3,00}{0,2672} \approx 11,225\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 10

Resumo numérico e interpretação rápida: ao tirar massa do sistema sem aplicar torque externo, o momento de inércia diminui e, para conservar o momento angular, a velocidade angular aumenta. Aqui ela sobe de aproximadamente 7,47\\ \mathrm{rad/s} para aproximadamente 11,22\\ \mathrm{rad/s}. Força um pouco de ânimo: esses cálculos fecham bonito porque o impulso angular \tau t foi exatamente 3{,}0, o que simplificou as contas.

Resposta

\omega(2,5\\ \mathrm{s}) \approx 7,47\\ \mathrm{rad/s}
\omega_{\text{nova}} \approx 11,22\\ \mathrm{rad/s}

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