Uma fonte de tensão de 20 senπ t \mathrm{~V} é conectada em um resistor de 5 \mathrm{k} \Omega. Determine a corrente que passa pelo resistor e a potência dissipada.

Passo 1

O enunciado dá uma fonte de tensão senoidal e um resistor e pede duas coisas: a corrente que passa pelo resistor e a potência dissipada. Informações fornecidas:
v(t)=20\sin(\pi t)\\ \mathrm{V}
R=5\\ \mathrm{k}\Omega
Perguntas explícitas: determinar a corrente i(t) que passa pelo resistor e determinar a potência dissipada (vou dar tanto a potência instantânea p(t) quanto a potência média, que normalmente é a que interessa).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter unidades e lembrar a lei de Ohm.
Converter o resistor:
R=5\\ \mathrm{k}\Omega = 5000\\ \Omega.
Lei de Ohm (explicação curta): em um resistor linear a tensão e a corrente estão relacionadas por
i(t)=\frac{v(t)}{R},
onde i(t) é a corrente em ampères, v(t) a tensão em volts e R a resistência em ohms. Essa fórmula vem da definição de resistência: R=v/i.

Passo 3

Aplicando a lei de Ohm ao nosso caso:
i(t)=\frac{20\sin(\pi t)}{5000}\\ \mathrm{A}.
Calculemos o fator númerico:
\frac{20}{5000}=0,004.
Portanto escrevemos a corrente de forma mais prática:
i(t)=0,004\sin(\pi t)\\ \mathrm{A}.
Como 0,004\\ \mathrm{A}=4\\ \mathrm{mA}, também é útil escrever:
i(t)=4\sin(\pi t)\\ \mathrm{mA}.
Comentário pedagógico: a amplitude da corrente é 4\\ \mathrm{mA} e a forma temporal é a mesma da tensão, porque em um resistor tensão e corrente estão em fase.

Passo 4

Agora a potência instantânea dissipada no resistor. Fórmulas possíveis e por que funcionam:
  • Definição: potência instantânea é produto da tensão pela corrente:
p(t)=v(t)\,i(t).
  • Alternativa prática (derivada dessa): como i(t)=v(t)/R, temos
p(t)=\frac{v^2(t)}{R}.
Usamos esta última porque evita multiplicar senos duas vezes de forma separada. Substituindo v(t)=20\sin(\pi t):
p(t)=\frac{(20\sin(\pi t))^2}{5000}=\frac{400\sin^2(\pi t)}{5000}.
Fazendo a divisão:
\frac{400}{5000}=0,08,
logo
p(t)=0,08\sin^2(\pi t)\\ \mathrm{W}.
Explicação: essa é a potência instantânea que varia no tempo entre 0 (quando \sin(\pi t)=0) e 0,08\\ \mathrm{W} (quando |\sin(\pi t)|=1).

Passo 5

Potência média (aquela que normalmente importa para energia dissipada ao longo do tempo): para uma senóide, a média de \sin^2 é 1/2. Assim
P_{\text{média}}=\overline{p(t)}=0,08\cdot\overline{\sin^2(\pi t)}=0,08\cdot\frac{1}{2}=0,04\\ \mathrm{W}.é
Outra forma equivalente (usada frequentemente em circuitos) é usar o valor eficaz (RMS) da tensão:
V_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{p}}}{\sqrt{2}}=\frac{20}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\\ \mathrm{V},
e então
P_{\text{média}}=\frac{V_{\text{rms}}^2}{R}=\frac{(10\sqrt{2})^2}{5000}=\frac{200}{5000}=0,04\\ \mathrm{W},é
confirmação consistente.

Resposta

i(t)=0,004\sin(\pi t)\\ \mathrm{A}=4\sin(\pi t)\\ \mathrm{mA}
p(t)=0,08\sin^2(\pi t)\\ \mathrm{W}
P_{\mathrm{média}}=0,04\\ \mathrm{W}é

Exercícios relacionados