Um termômetro digital, localizado em uma praça na Inglaterra, marca a temperatura de 10,4^{\circ} \mathrm{F}. Determine o valor correspondente a essa temperatura, na escala Celsius.
Dois fluidos, 1 e 2 , miscíveis entre si e de densidades iguais a 2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 3 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, são misturados em iguais proporções de massa. Determine a densidade resultante da mistura desses fluidos?

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado dá e o que pede, separando as duas perguntas.
Para a primeira pergunta:
  • Dado: a temperatura indicada pelo termômetro é \;10,4^\circ\mathrm{F}.
  • Pedido: determinar o valor correspondente em graus Celsius.
Para a segunda pergunta:
  • Dado: dois fluidos miscíveis com densidades \rho_1=\;2\\ \mathrm{g/cm^3} e \rho_2=\;3\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Dado adicional: os fluidos são misturados em iguais proporções de massa (ou seja, m_1=m_2).
  • Pedido: determinar a densidade resultante da mistura.

Passo 2

Primeira pergunta — entender a relação entre as escalas Fahrenheit e Celsius (a fórmula que usamos).
  • A escala Fahrenheit e a escala Celsius são duas escalas lineares de temperatura. Sabemos que \;32^\circ\mathrm{F} corresponde a \;0^\circ\mathrm{C} e \;212^\circ\mathrm{F} corresponde a \;100^\circ\mathrm{C}.
  • A relação linear entre Fahrenheit ( F) e Celsius ( C) pode ser obtida por duas condições acima; o resultado padrão é:
C = (F - 32)\cdot \frac{5}{9}.
  • Aqui F é a temperatura em graus Fahrenheit e C é a temperatura em graus Celsius. A constante 32 é o ponto de deslocamento (congelamento da água em Fahrenheit) e \tfrac{5}{9} é o fator de escala (porque 100 graus Celsius correspondem a 180 graus Fahrenheit de diferença, e 100/180=5/9).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao valor dado \;10,4^\circ\mathrm{F}.
  • Primeiro calcule a diferença em relação a 32:
10,4 - 32 = -21,6.
  • Agora multiplica-se por \tfrac{5}{9}:
C = (-21,6)\cdot \frac{5}{9}.
  • Para fazer essa conta sem calculadora: divida -21,6 por 9. Note que 9\times 2,4 = 21,6, logo
\frac{-21,6}{9} = -2,4.
  • Multiplicando por 5:
C = -2,4 \times 5 = -12,0.
  • Portanto o valor em Celsius é -12,0^\circ\mathrm{C} (pode escrever também -12^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Segunda pergunta — conceito básico: densidade, massa e volume.
  • A densidade \rho é definida por
\rho = \frac{m}{V},
onde m é a massa e V é o volume ocupado.
  • Ao misturar dois fluidos (assumindo que não há reação química nem contração/expansão de volume ao misturar), as massas somam e os volumes somam. Então para a mistura:
M = m_1 + m_2, \qquad V = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2},
e a densidade da mistura é
\rho_{\text{mix}}=\frac{M}{V}=\frac{m_1+m_2}{\dfrac{m_1}{\rho_1}+\dfrac{m_2}{\rho_2}}.

Passo 5

Aplicando ao caso de massas iguais ( m_1=m_2=m).
  • Substituindo m_1=m_2=m na fórmula:
\rho_{\text{mix}}=\frac{m+m}{\dfrac{m}{\rho_1}+\dfrac{m}{\rho_2}} = \frac{2m}{m\left(\dfrac{1}{\rho_1}+\dfrac{1}{\rho_2}\right)} = \frac{2}{\dfrac{1}{\rho_1}+\dfrac{1}{\rho_2}}.
  • Esta forma é justamente a média harmónica das densidades quando as massas são iguais; ou seja, para partes iguais em massa a densidade resultante é a média harmónica das \rho_1 e \rho_2.

Passo 6

Calcule numericamente com \rho_1=2\\ \mathrm{g/cm^3} e \rho_2=3\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Primeiro compute \dfrac{1}{\rho_1}+\dfrac{1}{\rho_2}:
\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}.
  • Agora
\rho_{\text{mix}}=\frac{2}{5/6}=2\cdot\frac{6}{5}=\frac{12}{5}=2,4\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Então a densidade resultante da mistura é \;2,4\\ \mathrm{g/cm^3}.

Resposta

-12,0^\circ\mathrm{C}
2,4\\ \mathrm{g/cm^3}

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