Centro de Massa (Sistema Unidimensional). Dois objetos estão alinhados no eixo x. O objeto 1 tem massa m_{1}=3,0 \mathrm{~kg} e está em x_{1}=2,0 \mathrm{~m}. O objeto 2 tem massa m_{2}=5,0 \mathrm{~kg} e está em x_{2}= 6,0m. Calcule a posição do centro de massa do sistema.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos-massa colocados ao longo do eixo x e pede a posição do centro de massa do sistema. Informações fornecidas:
  • m_{1}=3{,}0\\ \mathrm{kg}
  • x_{1}=2{,}0\\ \mathrm{m}
  • m_{2}=5{,}0\\ \mathrm{kg}
  • x_{2}=6{,}0\\ \mathrm{m}
O que se pede: calcular a coordenada x_{\text{cm}} do centro de massa do sistema formado por essas duas massas.

Passo 2

Fórmula do centro de massa para um sistema discreto unidimensional com duas massas:
x_{\text{cm}}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Explicando a fórmula de forma simples: o numerador m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2} é a soma dos “momentos” de cada massa em relação à origem (cada momento é massa \times posição). O denominador m_{1}+m_{2} é a massa total do sistema. O resultado é uma média ponderada das posições, onde cada posição é pesada pela sua massa.

Passo 3

Calcular os termos do numerador (os momentos):
m_{1}x_{1}=3{,}0\cdot 2{,}0=6{,}0
m_{2}x_{2}=5{,}0\cdot 6{,}0=30{,}0
Somando os momentos:
m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}=6{,}0+30{,}0=36{,}0

Passo 4

Calcular a massa total (denominador) e dividir:
m_{1}+m_{2}=3{,}0+5{,}0=8{,}0
x_{\text{cm}}=\frac{36{,}0}{8{,}0}=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}=4{,}5
Aqui transformei a fração 36/8 simplificando por 4 para ficar mais claro: 36/8=9/2, que é 4{,}5.

Passo 5

Interpretação rápida (checar se faz sentido): como m_{2} ( 5{,}0\\ \mathrm{kg}) é maior que m_{1} ( 3{,}0\\ \mathrm{kg}), o centro de massa deve ficar mais próximo de x_{2}=6{,}0\\ \mathrm{m} do que de x_{1}=2{,}0\\ \mathrm{m}. O valor x_{\text{cm}}=4{,}5\\ \mathrm{m} satisfaz essa intuição (fica entre 2{,}0 e 6{,}0, mais perto de 6{,}0).

Resposta

\,x_{\text{cm}}=4{,}5\\ \mathrm{m}

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