1. Conservação do momento linear
Um bloco A, de massa 2,00 \mathrm{~kg}, move-se para a direita com rapidez 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele colide frontal e elasticamente com um bloco B, de massa 10,00 \mathrm{~kg}, inicialmente em repouso. Adotando a direita como sentido positivo, quais são as velocidades dos blocos após a colisão?
v_{A}=+1,33 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{B}=+0,667 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
v_{A}=-1,33 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{B}=+0,667 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
v_{A}=0 e v_{B}=+0,400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
v_{A}=-2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e v_{B}=+2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
v_{A}=-0,667 \mathrm{~m} / \mathrm{se}^{-} v_{B}=+1,33 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (adotei os sinais e valores exatamente do enunciado):
  • Massa do bloco A: m_A=2,00\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do bloco B: m_B=10,00\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade inicial de A: v_A=2,00\\ \mathrm{m/s} (para a direita — sentido positivo).
  • Velocidade inicial de B: v_B=0,00\\ \mathrm{m/s} (em repouso).
    O que o problema pede: determinar as velocidades finais v_A' e v_B' após uma colisão frontal elástica entre os blocos, adotando a direita como sentido positivo.

Passo 2

Começamos com a conservação do momento linear. Em uma colisão isolada numa direção, o momento total antes é igual ao momento total depois. A fórmula é
m_A v_A + m_B v_B = m_A v_A' + m_B v_B'.
Substituindo os valores conhecidos:
2,00\cdot 2,00 + 10,00\cdot 0,00 = 2,00\cdot v_A' + 10,00\cdot v_B'.
Calculando o lado esquerdo:
4,00 = 2,00\,v_A' + 10,00\,v_B'.
Esta é a primeira equação que relaciona v_A' e v_B'. Vou referir a ela como (1):
\text{(1)}\qquad 2,00\,v_A' + 10,00\,v_B' = 4,00.

Passo 3

Agora a conservação da energia cinética, válida para colisão perfeitamente elástica:
\tfrac{1}{2}m_A v_A^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_B^2 = \tfrac{1}{2}m_A v_A'^2 + \tfrac{1}{2}m_B v_B'^2.
Substituindo números (lado esquerdo é a energia inicial):
\tfrac{1}{2}\cdot 2,00\cdot (2,00)^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 10,00\cdot 0,00^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2,00\cdot v_A'^2 + \tfrac{1}{2}\cdot 10,00\cdot v_B'^2.
Calculando o lado esquerdo:
4,00 = 1,00\,v_A'^2 + 5,00\,v_B'^2.
Esta é a segunda equação (não linear) envolvendo v_A' e v_B'.

Passo 4

Existe um truque muito útil para colisões elásticas unidimensionais: a velocidade relativa troca de sinal. Ou seja,
v_A - v_B = -\bigl(v_A' - v_B'\bigr).
Vou justificar isso rapidamente de forma algébrica (é um passo didático importante):
  • Da conservação do momento escrevemos
m_A(v_A - v_A') = m_B(v_B' - v_B).
  • Da conservação de energia, ao subtrair os termos apropriados e fatorar diferenças de quadrados, obtemos
m_A(v_A - v_A')(v_A + v_A') = m_B(v_B' - v_B)(v_B' + v_B).
  • Dividindo as duas expressões (a segunda pela primeira) — e assumindo que não houve coincidência degenerada de velocidades que anule esses fatores — resulta
v_A + v_A' = v_B' + v_B.
Rearranjando essa igualdade dá exatamente a relação de inversão da velocidade relativa:
v_A - v_B = -\bigl(v_A' - v_B'\bigr).
Essa relação transforma a equação de energia (quadrática) em uma relação linear simples entre v_A' e v_B', facilitando a solução.

Passo 5

Aplicando a relação de inversão da velocidade relativa ao nosso caso com v_A=2,00 e v_B=0,00:
2,00 - 0,00 = -\bigl(v_A' - v_B'\bigr)\quad\Rightarrow\quad v_B' - v_A' = 2,00.
Chamemos isso de (2):
\text{(2)}\qquad v_B' - v_A' = 2,00.
Agora resolvemos o sistema linear formado por (1) e (2). Da (2) temos v_A' = v_B' - 2,00. Substituindo na (1):
2,00\,(v_B' - 2,00) + 10,00\,v_B' = 4,00.
Desenvolvendo:
2,00\,v_B' - 4,00 + 10,00\,v_B' = 4,00,
12,00\,v_B' = 8,00,
v_B' = \frac{8,00}{12,00} = \frac{2}{3} = 0,666\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (tres algarismos significativos):
v_B' \approx 0,667\\ \mathrm{m/s}.
Agora v_A' = v_B' - 2,00 = \tfrac{2}{3} - 2 = -\tfrac{4}{3} = -1,333\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando:
v_A' \approx -1,33\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física rápida: o bloco A rebate e passa a se mover para a esquerda (velocidade negativa), enquanto B passa a mover-se para a direita com velocidade positiva.

Passo 6

Resumo do raciocínio para a prova (dicas rápidas e amigáveis):
  • Use sempre conservação do momento e, se a colisão for elástica, conservação da energia cinética.
  • Para colisões unidimensionais elásticas, decorar a relação da inversão da velocidade relativa
v_1 - v_2 = -(v_1' - v_2')
poupam muito trabalho: converte o sistema em equações lineares.
  • Faça as contas mantendo frações até o final quando der (aí é mais fácil ver cancelamentos) e só arredonde no resultado final.
  • Você conseguiu — mesmo parecendo muita teoria, o método é direto quando aplicado passo a passo.

Resposta

v_A'=-1,33\\ \mathrm{m/s} e v_B'=+0,667\\ \mathrm{m/s}

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