1. Plano inclinado
Um bloco de massa ( 0\{\} ,0900 \backslash \backslash mathrm{kg} ) é mantido em repouso contra uma mola comprimida, posicionada na extremidade inferior de um trilho de ar inclinado, que forma um ângulo de ( 40\{,\} 0^{\wedge} \backslash \mathrm{circ} ) com a horizontal. A constante elástica da mola é ( k= 64011 mathrm \{\mathrm{N} / \mathrm{m}\} ). Ao ser liberado, o bloco desliza sem atrito pelo trilho e percorre ( 1,\{, 801 \mathrm{lmathrm}\{\mathrm{m}\} ) até atingir momentaneamente o repouso. Desprezando a massa da mola, determine sua compressão inicial.
8,00 \mathrm{~cm}
11,3 \mathrm{~cm}
5,65 \mathrm{~cm}
2,83 \mathrm{~cm}
4,00 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a compressão inicial da mola (valor em comprimento).
Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
  • massa do bloco: m=0,0900\\ \mathrm{kg}
  • inclinação do trilho: \theta=40^\circ
  • constante elástica da mola: k=640\\ \mathrm{N/m}
  • deslocamento do bloco ao subir até parar: d=1,801\\ \mathrm{m}
  • o bloco desliza sem atrito e a mola tem massa desprezível
  • ao final o bloco atinge repouso momentaneamente (energia cinética final nula)

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Como não há atrito e a mola é sem massa, a energia mecânica se conserva entre o instante inicial (mola comprimida, bloco em repouso) e o ponto onde o bloco pára.
  • Energia armazenada na mola (energia potencial elástica) é transformada em energia potencial gravitacional ao subir o plano inclinado.
  • Não há troca com o ambiente nem trabalho de forças dissipativas, portanto:
\frac{1}{2}k x^2 = \Delta U_g
onde:
  • x é a compressão inicial desconhecida da mola (que queremos),
  • \frac{1}{2}k x^2 é a energia potencial elástica inicial,
  • \Delta U_g é o ganho de energia potencial gravitacional do bloco ao subir a distância d ao longo do plano.

Passo 3

Expressar \Delta U_g em termos dos dados:
  • A variação da energia potencial gravitacional ao subir pelo plano inclinado é
\Delta U_g = m g h,
onde h é a altura vertical subida. Como o bloco percorre distância d ao longo do plano inclinado com ângulo \theta, tem-se
h = d\sin\theta.
Portanto
\Delta U_g = m g d \sin\theta.

Passo 4

Escrever a equação de conservação de energia explicitamente:
\frac{1}{2}k x^2 = m g d \sin\theta.
Isolando x:
x = \sqrt{\dfrac{2 m g d \sin\theta}{k}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x: compressão inicial da mola (m),
  • m: massa do bloco ( \mathrm{kg}),
  • g: aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}), usaremos g=9,8\\ \mathrm{m/s^2},
  • d: distância percorrida ao longo do plano ( \mathrm{m}),
  • \theta: ângulo do plano (^\circ),
  • k: constante elástica da mola ( \mathrm{N/m}).

Passo 5

Calcular passo a passo o termo m g d \sin\theta:
  • Primeiro m g:
m g = 0,0900\cdot 9,8 = 0,882\\ (\text{unidade: N}).
  • Multiplicando por d:
m g d = 0,882\cdot 1,801 = 1,588482\\ (\text{unidade: J}).
  • Agora \sin\theta com \theta=40^\circ:
\sin 40^\circ \approx 0,642787.
  • Portanto
m g d \sin\theta = 1,588482\cdot 0,642787 \approx 1,02106\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Substituir na fórmula de x e calcular:
x = \sqrt{\dfrac{2\cdot 1,02106}{640}} = \sqrt{\dfrac{2,04212}{640}} = \sqrt{0,0031901875}\approx 0,05651\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Converter para centímetros para comparar com as alternativas:
0,05651\\ \mathrm{m} = 5,651\\ \mathrm{cm}\approx 5,65\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Verificação rápida de sensibilidade (intuitionzinha): se a mola fosse mais rígida (maior k) a compressão seria menor; se a massa ou a subida aumentassem, a compressão seria maior. O valor obtido \approx 5,65\\ \mathrm{cm} está entre as alternativas possíveis.

Resposta

5,65\\ \mathrm{cm}

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