Considcre a scguintc função racional
Mostre que
é uma assíntota vertical ao gráfico da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função racional $ g(x) = \frac{2x^{2} + x - 1}{x^{2} + x} $. O objetivo é mostrar que $ x = 0 $ é uma assíntota vertical dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e como identificar onde elas ocorrem em funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma assíntota vertical acontece quando o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não se anula nesse ponto. Então, vamos identificar onde o denominador $ x^{2} + x $ é igual a zero.
Passo 3
Resolvendo a equação $ x^{2} + x = 0 $:
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = -1 $. Esses são os pontos onde o denominador é zero e, potencialmente, podem ser assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos verificar o numerador nesses pontos. Para $ x = 0 $:
Como o numerador não é zero quando $ x = 0 $, isso indica que existe uma assíntota vertical em $ x = 0 $.
Passo 5
Para confirmar, vamos analisar o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
Esse resultado mostra que a função tende a menos infinito quando se aproxima de $ x = 0 $, confirmando a presença de uma assíntota vertical nesse ponto.
Resposta
Portanto, $ x = 0 $ é de fato uma assíntota vertical do gráfico da função $ g(x) $.