Considcre a scguintc função racional
g(x)=2 x^2+x-1x^2+x
Mostre que x=0 é uma assíntota vertical ao gráfico da função g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função racional $ g(x) = \frac{2x^{2} + x - 1}{x^{2} + x} $. O objetivo é mostrar que $ x = 0 $ é uma assíntota vertical dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são assíntotas verticais e como identificar onde elas ocorrem em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma assíntota vertical acontece quando o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não se anula nesse ponto. Então, vamos identificar onde o denominador $ x^{2} + x $ é igual a zero.

Passo 3

Resolvendo a equação $ x^{2} + x = 0 $:
x^2 + x = 0
Isso nos dá duas soluções: $ x = 0 $ e $ x = -1 $. Esses são os pontos onde o denominador é zero e, potencialmente, podem ser assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos verificar o numerador nesses pontos. Para $ x = 0 $:
x = 0
Como o numerador não é zero quando $ x = 0 $, isso indica que existe uma assíntota vertical em $ x = 0 $.

Passo 5

Para confirmar, vamos analisar o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
g(x)
Esse resultado mostra que a função tende a menos infinito quando se aproxima de $ x = 0 $, confirmando a presença de uma assíntota vertical nesse ponto.

Resposta

Portanto, $ x = 0 $ é de fato uma assíntota vertical do gráfico da função $ g(x) $.

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