Questão 5. Excedente
- 2 pontos do Consumidor.
Em economia, a função demanda
é o preço que uma companhia deve cobrar para conseguir vender
unidades de um produto. Geralmente, para vender maiores quantidades, é necessário baixar os preços; assim, a função demanda é uma função decrescente.
Se X é a quantidade disponível do produto, então
é o preço de venda corrente.
O excedente do consumidor representa a quantidade de dinheiro que os consumidores economizam ao comprar um produto pelo preço
correspondente a uma quantidade demandada de
.
O excedente do consumidor é calculado pela integral
Sabendo-se que a curva de demanda é dada por
, qual é o excedente do consumidor quando o preço de venda for
?
Aproximadamente R$41,50
Aproximadamente R$ 114,50
Aproximadamente R$ 141,50
Aproximadamente R$151,50
O excedente do consumidor representa a quantidade de dinheiro que os consumidores economizam ao comprar um produto pelo preço
Aproximadamente R$41,50
Aproximadamente R$ 114,50
Aproximadamente R$ 141,50
Aproximadamente R$151,50
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão de Excedente do Consumidor em Economia. O que isso quer dizer? Basicamente, é a grana que os consumidores economizam quando compram um produto por um preço menor do que eles estavam dispostos a pagar. Para resolver isso, vamos precisar entender a função de demanda e usar cálculo integral para calcular essa economia.
Passo 2
Primeiro, a função de demanda é dada por:
Aqui, $ p(x) $ representa o preço que a empresa deve cobrar para vender $ x $ unidades do produto. Note que quanto mais unidades a gente quer vender ($ x $), menor o preço $ p(x) $, o que faz sentido porque geralmente para vender mais, o preço precisa baixar.
Passo 3
Sabemos que o preço de venda corrente é $ P = R$ 10 $. Queremos encontrar a quantidade $ X $ que será vendida a esse preço. Para isso, vamos igualar a função de demanda ao preço corrente:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ X $.
Passo 4
Resolvendo a equação:
Então, a quantidade vendida a R$ 10 é $ X = 37 $ unidades.
Passo 5
Agora, vamos calcular o Excedente do Consumidor, que é a área entre a curva de demanda e o preço de venda, de 0 a $ X $. A fórmula é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, vamos separar a integral:
A primeira parte é uma integral logarítmica, e a segunda é uma integral simples.
Passo 7
Calculando a primeira integral:
E a segunda integral:
Agora, aplicando os limites de 0 a 37:
Passo 8
Substituindo os limites na primeira integral:
E na segunda integral:
Passo 9
Calculando os valores numéricos:
Então, o excedente é:
Aparentemente, houve um erro nos cálculos iniciais. Vamos refazer com mais precisão.
Passo 10
Vamos recalcular com precisão:
Então:
Excedente:
Isso ainda não bate com as opções, então vamos checar novamente.
Passo 11
Peço desculpas pelo erro! Vamos corrigir:
A fórmula correta do excedente é:
Parece que há uma divergência com as opções oferecidas. Vamos verificar se a função de demanda foi interpretada corretamente.
Passo 12
Ah, percebi! A função de demanda provavelmente está escrita como:
Vamos refazer com essa interpretação.
Passo 13
Se $ p(x) = 450(x + 8) $, então:
Isso não faz sentido, já que quantidade não pode ser negativa. Portanto, a primeira interpretação está correta.
Passo 14
Voltando à primeira interpretação, considerando que a resposta correta não está entre as opções, a opção mais próxima é Aproximadamente R$ 114,50.
Resposta
Aproximadamente R$ 114,50