Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Um cubo de lado a e densidade constante, em rotação sobre uma aresta.

Passo 1

O enunciado pede para um cubo de aresta a e densidade constante rho: calcular a massa total, o centro de massa e o momento de inércia em rotação em torno de uma aresta. O conteúdo envolvido é integração em sólidos (volume), definição de centro de massa e momento de inércia ( I=integral r^2,dm), além do uso do teorema dos eixos paralelos.

Passo 2

Para achar a massa total, usamos que massa é densidade vezes volume. Como o cubo tem volume V=a^3, temos
m = rho,V = rho,a^3

Passo 3

O centro de massa de um sólido de densidade uniforme coincide com o centro geométrico. Num cubo de vértice em (0,0,0) e arestas ao longo de x,y,z, o centro fica em
RCM=l(tfraca2,tfraca2,tfraca2r)

Passo 4

Para o momento de inércia em torno de uma aresta (por exemplo o eixo ao longo de z passando por x=y=0), usamos
I = integralV (x^2+y^2),dm = rhointegral0^a! integral0^a!integral0^a (x^2+y^2),dx,dy,dz
Calculando as integrais em x,y:
integral0^aintegral0^a (x^2+y^2),dx,dy = a^43+a^43 = 2a^43
e então em z multiplica por a, ficando 2a^5/3. Logo
I = rho,2a^53 = 23 (rho a^3),a^2 = 23,m,a^2

Resposta

Massa total: m=rho,a^3
Centro de massa: l(tfraca2,tfraca2,tfraca2r)
Momento de inércia em torno de uma aresta: I=tfrac23m a^2.

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