Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das figuras.
Um cubo de lado
e densidade constante, em rotação sobre uma aresta.
Um cubo de lado
Passo 1
O enunciado pede para um cubo de aresta
e densidade constante
: calcular a massa total, o centro de massa e o momento de inércia em rotação em torno de uma aresta. O conteúdo envolvido é integração em sólidos (volume), definição de centro de massa e momento de inércia (
), além do uso do teorema dos eixos paralelos.
Passo 2
Para achar a massa total, usamos que massa é densidade vezes volume. Como o cubo tem volume
, temos
Passo 3
O centro de massa de um sólido de densidade uniforme coincide com o centro geométrico. Num cubo de vértice em
e arestas ao longo de
, o centro fica em
Passo 4
Para o momento de inércia em torno de uma aresta (por exemplo o eixo ao longo de
passando por
), usamos
Calculando as integrais em
:
e então em
multiplica por
, ficando
. Logo
Resposta
Massa total:
Centro de massa:
Momento de inércia em torno de uma aresta: .
Centro de massa:
Momento de inércia em torno de uma aresta: