Consider laminar flow of a fluid over a flat plate. Now the free-stream velocity of the fluid is tripled. Determine the change in the drag force on the plate. Assume the flow to remain laminar.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos um fluxo laminar sobre uma placa plana. Agora triplicamos a velocidade livre (U∞) do fluido. Qual será a mudança na força de arraste (drag) sobre a placa, supondo que o escoamento continua laminar?”
Conteúdo: camada-limite laminar de Blasius e arraste viscoso. Vamos precisar da expressão para a tensão de cisalhamento na parede (τw) e depois integrar pra achar a força total de arraste.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de número de Reynolds local na placa, que mede a razão entre inércia e viscosidade ao longo da placa:

onde ρ é densidade, μ é viscosidade dinâmica e x é a distância do bordo de ataque.

Passo 3

Na solução de Blasius para camada-limite laminar, a tensão de cisalhamento na parede (τw) varia com x assim:
tauw(x) ;=; 0.332,rho,Uinfty^2,dfrac1raizRex ;=;0.332,rho,Uinfty^2,raizdfracmurho,Uinfty,x
Isso já mostra que τw depende de e de .

Passo 4

Para achar a força de arraste total sobre uma placa de comprimento L e largura (ou “envergadura”) b, integramos τw de x=0 até x=L:
D ;=;integral0^L tauw(x),b,dx ;=;b;0.332,rho,Uinfty^2 integral0^L raizdfracmurho,Uinfty,x ;dx
Fazendo a integral (∫x^(–½) dx = 2√x) dá
D = b;0.332,rho,Uinfty^2 ;2;raizdfracmurho,Uinfty;raizL = b;0.664;raizrho,mu;Uinfty^3/2;raizL
O importante é a dependência
D propto Uinfty^3/2

Passo 5

Agora, se triplicamos a velocidade livre, Drm novo ;propto;(3,Uinfty)^3/2 ;=;3^3/2;Uinfty^3/2 ;=;3raiz3;Uinfty^3/2 , a força de arraste fica:
Ou seja, a força de arraste aumenta por um fator .

Resposta

A força de arraste aumenta em um fator .

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