The local atmospheric pressure in Denver, Colorado (elevation 1610 m ) is 83.4 kPa . Air at this pressure and at 25^circ C flows with a velocity of 9 m / s over a 2.5-m times 5-m flat plate. Determine the drag force acting on the top surface of the plate if the air flows parallel to the (a) 5-m-long side and (b) the 2.5-m-long side.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos ar a 25^circ C e pressão local de 83,4 kPa em Denver, fluindo a 9 m/s sobre uma placa plana de dimensões 2,5 mtimes5 m. Queremos a força de arrasto na superfície quando o fluxo é paralelo (a) ao lado de 5 m e (b) ao lado de 2,5 m.
Conteúdo: escoamento sobre placa plana com camada limite. Vamos precisar de densidade, viscosidade, número de Reynolds, comprimento de transição laminar–turbulento e coeficientes de atrito (Cf) para laminar e turbulento, integrando a tensão no leito.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as propriedades do ar:
  1. Densidade rho, usando p=rho R T com R=287 J/(kg,K), p=83,4times10^3 Pa, T=25+273=298 K:
rho=83,4times10^3287times298approx0,977 kg/m^3
2) Viscosidade dinâmica aproximada a 25^circ C:
muapprox1,85times10^-5 Pacdot s
  1. Número de Reynolds baseado no comprimento L:
ReL=rho,U,Lmu
E o ponto de transição lam–turb ocorre em Rexapprox5times10^5, daí
xc=5times10^5;murho,Uapprox1,05 m

Passo 3

Explicando o atrito na placa:
Dentro da camada-limite, a tensão de cisalhamento na parede é
tauw=12,rho,U^2,Cf(x),
onde o coeficiente de atrito local é
- laminar: Cf, lam(x)=1,328raizRex,
- turbulento: Cf, turb(x)=0,074Rex^1/5.
A força total de arrasto é
$$F=\int_0^L \tau_w,b,dx
=\frac12,\rho,U2,b\int_0L C_f(x),dx,$$
com F=integral0^L tauw,b,dx =12,rho,U^2,bintegral0^L Cf(x),dx, sendo a largura perpendicular ao fluxo.

Passo 4

Vamos partir a integral em duas partes, de 0 a xc (laminar) e de xc a L (turbulento):
$$I_1=\int_0^{x_c}\frac{1{,}328}{\sqrt{\frac{\rho U,x}{\mu}}},dx
=2{,}656\sqrt{\frac{\mu,x_c}{\rho,U}},$$
$$I_2=\int_{x_c}^L\frac{0{,}074}{\bigl(\frac{\rho U,x}{\mu}\bigr)^{1/5}},dx
=0{,}074\Bigl(\frac{\mu}{\rho U}\Bigr){1/5}\frac{5}{4}\Bigl(L{4/5}-x_c^{4/5}\Bigr).$$
Calculando numericamente:
  • I1=integral0^xc1,328raizrho U,xmu,dx =2,656raizmu,xcrho,U,
  • Para I2=integralxc^L0,074l(rho U,xmur)^1/5,dx =0,074l(murho Ur)^1/554l(L^4/5-xc^4/5r): I1approx3,95times10^-3
  • Para L=5 m: I2approx1,75times10^-2

Passo 5

Caso (a): fluxo paralelo ao lado de 5 m, logo L=5 m e b=2,5 m.
Soma das integrais:
I=I1+I2approx0,00395+0,01748=0,02143
A força de arrasto:
$$F=\frac12,\rho,U^2,b;I
=0{,}5\cdot0{,}977\cdot9^2\cdot2{,}5\cdot0{,}02143
\approx2{,}12\ \mathrm N.$$

Passo 6

Caso (b): fluxo paralelo ao lado de 2,5 m, logo L=2,5 m e b=5 m.
Agora I=0,00395+0,00704=0,01099.
F=12,rho,U^2,b;I =0,5cdot0,977cdot9^2cdot5cdot0,01099 approx2,17 N

Resposta

(a) Fapprox2,12 N
(b) Fapprox2,17 N

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