(a) A lamp has two bulbs of a type with an average lifetime of 1000 hours. Assuming that we can model the probability of failure of these bulbs by an exponential density function with mean mu=1000, find the probability that both of the lamps bulbs fail within 1000 hours.
(b) Another lamp has just one bulb of the same type as in part (a). If one bulb burns out and is replaced by a bulb of the same type, find the probability that the two bulbs fail within a total of 1000 hours.

Passo 1

A questão envolve distribuições exponenciais: cada lâmpada tem vida média mu=1000 horas e queremos probabilidades de falha em 1000 horas. Vamos usar a função de distribuição acumulada da exponencial e, no caso de duas falhas sucessivas, a distribuição Erlang (soma de duas exponenciais).

Passo 2

Para (a), como as duas lâmpadas do mesmo dispositivo falham independentemente, a probabilidade de cada uma falhar antes de 1000 horas é F(1000)=1-exp(-1000/1000)=1-e^-1. Então a probabilidade de ambas falharem nesse período é o produto:
P(duas falhas <=1000)=l(1-e^-1r)timesl(1-e^-1r)=l(1-e^-1r)^2

Passo 3

Para (b), temos uma lâmpada que, ao falhar, é imediatamente substituída por outra idêntica. Se T1 e T2 são tempos de vida das lâmpadas, ambos exponenciais independentes com taxa lambda=1/1000, queremos P(T1+T2<=1000). A soma de duas exponenciais iguais é Erlang de ordem 2, cuja CDF é
P(T1+T2<= t)=1-e^-lambda t(1+lambda t)

Passo 4

Substituindo t=1000 e lambda=1/1000 obtemos
P(T1+T2<=1000)=1-e^-1l(1+1r)=1-2e^-1

Resposta

(a) (1-e^-1)^2; (b) 1-2e^-1.

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