A lamina occupies the region inside the circle
but outside the circle
. Find the center of mass if the density at any point is inversely proportional to its distance from the origin.
Passo 1
O exercício trata de encontrar o centro de massa de uma lâmina no plano cujo domínio é a região entre dois círculos e cuja densidade em cada ponto é inversamente proporcional à distância ao ponto de origem. O conteúdo envolve coordenadas polares e integrais duplas com densidade variável. Vamos precisar: passar para polares, descrever a região adequadamente, montar as integrais para a massa total e para os momentos em x e y e, por fim, obter as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos x = r cosθ, y = r sinθ e a densidade ρ® = k/r. O domínio é a região onde r^2 ≥ 1 (fora do círculo de raio 1) e r^2 ≤ 2r sinθ (dentro do círculo x^2 + y^2 = 2y). Desse modo r varia de 1 até 2 sinθ, e θ deve satisfazer 2 sinθ ≥ 1, isto é θ ∈ [π/6,5π/6].
Passo 3
A massa total M é dada por
Calculemos
de π/6 a 5π/6, resultando em
Passo 4
Pelo fato da região ser simétrica em relação ao eixo y, o momento em x será zero. Formalmente,
Logo
.
Passo 5
O momento em y é
Fazendo a integral em θ chega-se a
Portanto