A lamina occupies the region inside the circle x^2+y^2=2 y but outside the circle x^2+y^2=1. Find the center of mass if the density at any point is inversely proportional to its distance from the origin.

Passo 1

O exercício trata de encontrar o centro de massa de uma lâmina no plano cujo domínio é a região entre dois círculos e cuja densidade em cada ponto é inversamente proporcional à distância ao ponto de origem. O conteúdo envolve coordenadas polares e integrais duplas com densidade variável. Vamos precisar: passar para polares, descrever a região adequadamente, montar as integrais para a massa total e para os momentos em x e y e, por fim, obter as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos x = r cosθ, y = r sinθ e a densidade ρ® = k/r. O domínio é a região onde r^2 ≥ 1 (fora do círculo de raio 1) e r^2 ≤ 2r sinθ (dentro do círculo x^2 + y^2 = 2y). Desse modo r varia de 1 até 2 sinθ, e θ deve satisfazer 2 sinθ ≥ 1, isto é θ ∈ [π/6,5π/6].

Passo 3

A massa total M é dada por
M = integral duplaD rho,dA = integralθ=π/6^5π/6 integralr=1^2sinθ kr,r,dr,dθ = kintegralπ/6^5π/6(2sinθ - 1),dθ
Calculemos
integral(2sinθ -1)dθ = -2cosθ - θ
de π/6 a 5π/6, resultando em
M = kl(2√3 - tfrac2π3r)

Passo 4

Pelo fato da região ser simétrica em relação ao eixo y, o momento em x será zero. Formalmente,
integral dupla x,ρ,dA = kintegralπ/6^5π/6cosθintegral1^2sinθr,dr,dθ = kintegralπ/6^5π/6cosθl(2sin^2θ - tfrac12r)dθ = 0
Logo bar x = 0.

Passo 5

O momento em y é
integral dupla y,ρ,dA = kintegralπ/6^5π/6sinθintegral1^2sinθr,dr,dθ = kintegralπ/6^5π/6sinθl(2sin^2θ - tfrac12r)dθ
Fazendo a integral em θ chega-se a
integral dupla y,ρ,dA = k√3
Portanto
bar y = 1Mintegral dupla y,ρ,dA = k√3kl(2√3 - tfrac2π3r) = √32√3 - tfrac2π3

Resposta

(bar x,bar y)=(0,;3raiz32l(3raiz3 - pir)).

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