Consider the curvature at x=0 for each member of the family of functions f(x)=e^c x. For which members is kappa(0) largest?

Passo 1

O enunciado considera a família de funções f(x)=e^c x e pergunta para quais valores de c a curvatura em x=0, denotada por kappa(0), é máxima. O conteúdo usado será a fórmula da curvatura de uma curva dada por y=f(x).

Passo 2

A fórmula da curvatura de uma curva y=f(x) é
kappa(x) = lvert f''(x)rvertl(1+(f'(x))^2r)^3/2

Passo 3

Calculemos as derivadas de f(x)=e^c x:
f'(x)=c,e^c x, f''(x)=c^2,e^c x
Em x=0 isso dá
f'(0)=c, f''(0)=c^2

Passo 4

Substituindo em kappa(x) em x=0,
kappa(0) = lvert c^2rvertl(1+c^2r)^3/2 = c^2(1+c^2)^3/2,
já que c^2>=0.

Passo 5

Para maximizar kappa(0) em relação a c, note que ela depende apenas de t=c^2>=0. Defina
g(t)=t(1+t)^3/2
Derivando em t,
g'(t) = (1+t)^3/2-tfrac32,t,(1+t)^1/2(1+t)^3 = 1-tfrac12,t(1+t)^5/2
A condição crítica g'(t)=0 leva a 1-tfrac12,t=0.

Passo 6

Da igualdade 1-tfrac12,t=0 vem t=2. Logo c^2=2, ou seja
c=pmraiz2
Esse ponto é máximo global, pois g(0)=0 e limttoinftyg(t)=0.

Resposta

Os valores de c que tornam kappa(0) máxima são
c = pm raiz2

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