Curvature of Plane Parametric Curves The curvature of a plane parametric curve is given by
where the dots indicate derivatives with respect to .
Find the curvature of the curve .
Passo 1
O enunciado pede a curvatura de uma curva paramétrica definida por
e fornece a fórmula
Para resolver, precisamos calcular dot x,dot y e ddot x,ddot y em função de t, depois formar o numerador e o denominador.
Passo 2
Calculamos as derivadas primeiras
dot x = ddtl(e^tcos tr) = e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t - sin t),
dot y = ddtl(e^tsin tr) = e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t)
Passo 3
Agora as derivadas segundas
ddot x = ddtl[e^t(cos t - sin t)r] = e^t(cos t - sin t) + e^t(-sin t - cos t) = -2,e^tsin t,
ddot y = ddtl[e^t(sin t + cos t)r] = e^t(sin t + cos t) + e^t(cos t - sin t) = 2,e^tcos t
Passo 4
Formamos o numerador
dot x,ddot y - dot y,ddot x = e^t(cos t - sin t)cdot 2e^tcos t ;-;e^t(sin t + cos t)cdotl(-2e^tsin tr) =2e^2t(cos^2t - sin tcos t + sin^2t + sin tcos t) =2e^2t
O valor absoluto é l|dot x,ddot y-dot y,ddot xr|=2e^2t
Passo 5
Calculamos o denominador
dot x^2+dot y^2 =e^2t(cos t - sin t)^2+e^2t(sin t + cos t)^2 =2e^2t,