Curvature of Plane Parametric Curves The curvature of a plane parametric curve x=f(t), y=g(t) is given by
kappa=|dotx ddoty-doty ddotx|[dotx^2+doty^2]^3 / 2
where the dots indicate derivatives with respect to t.
Find the curvature of the curve x=e^t cos t, y=e^t sin t.

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de uma curva paramétrica definida por
x = e^tcos t, y = e^tsin t
e fornece a fórmula
kappa=l|dot x,ddot y-dot y,ddot xr|l[dot x^2+dot y^2r]^3/2
Para resolver, precisamos calcular dot x,dot y e ddot x,ddot y em função de t, depois formar o numerador e o denominador.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras
dot x = ddtl(e^tcos tr) = e^tcos t - e^tsin t = e^t(cos t - sin t),
dot y = ddtl(e^tsin tr) = e^tsin t + e^tcos t = e^t(sin t + cos t)

Passo 3

Agora as derivadas segundas
ddot x = ddtl[e^t(cos t - sin t)r] = e^t(cos t - sin t) + e^t(-sin t - cos t) = -2,e^tsin t,
ddot y = ddtl[e^t(sin t + cos t)r] = e^t(sin t + cos t) + e^t(cos t - sin t) = 2,e^tcos t

Passo 4

Formamos o numerador
dot x,ddot y - dot y,ddot x = e^t(cos t - sin t)cdot 2e^tcos t ;-;e^t(sin t + cos t)cdotl(-2e^tsin tr) =2e^2t(cos^2t - sin tcos t + sin^2t + sin tcos t) =2e^2t
O valor absoluto é l|dot x,ddot y-dot y,ddot xr|=2e^2t

Passo 5

Calculamos o denominador
dot x^2+dot y^2 =e^2t(cos t - sin t)^2+e^2t(sin t + cos t)^2 =2e^2t,
portanto
l[dot x^2+dot y^2r]^3/2 =(2e^2t)^3/2 =2raiz2,e^3t

Passo 6

Substituindo em kappa:
kappa =2e^2t2raiz2,e^3t =1raiz2,e^-t

Resposta

kappa(t)=e^-traiz2

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