Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
4. y^prime prime-2 y^prime+y=r^prime e^t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' + y = r'(t),e^t
e pede uma solução geral usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar primeiro encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o procedimento de variação de parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

Estudamos a homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
lambda^2 -2lambda +1 =0
com raiz dupla lambda=1. Logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1 e^t + C2,t,e^t

Passo 3

Para a variação de parâmetros usamos como base de soluções independentes
y1(t)=e^t, y2(t)=t,e^t
O wronskiano é
W(t)= y1 & y2 y1'&y2' = e^t & t,e^t e^t & (t+1)e^t =e^2t,(t+1 - t)=e^2t

Passo 4

Na forma padrão o termo não homogêneo é f(t)=r'(t)e^t. As fórmulas para as derivadas das funções variáveis são
u1'(t)=-f(t),y2(t)W(t), u2'(t)=f(t),y1(t)W(t)
Substituindo,
u1'=-r'(t)e^tcdot (t e^t)e^2t =-r'(t),t, u2'=r'(t)e^tcdot e^te^2t =r'(t)

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2, desprezando constantes de integração (elas ficam em yh):
u1(t)=-integral r'(t),t,dt =-l(r(t),t-integral r(t),dtr) =-r(t),t+integral r(t),dt,
u2(t)=integral r'(t),dt = r(t)

Passo 6

A solução particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =l(-r,t+!!integral rr)e^t + r,(t e^t)
Observe que os termos em -r,t,e^t e r,t,e^t se cancelam, sobrando
yp(t)=e^tintegral r(t),dt

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy(t)=C1 e^t + C2,t,e^t + e^tintegral r(t),dt

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