Consider the following differential equations:
(b)
.
In each case, find a power series solution of the form
, solve the equation directly, and explain any discrepancies that arise.
(b)
In each case, find a power series solution of the form
Passo 1
O enunciado pede, para a equação
:\n
- Encontrar uma solução em série de potências da forma
(série em torno de ).\n - Resolver a equação diretamente (método analítico).\n
- Explicar quaisquer discrepâncias entre as soluções obtidas pelos dois métodos.\n
Informações dadas: a equação diferencial é. Não foram dadas condições iniciais; devemos trabalhar de forma geral.
Passo 2
Assumimos uma solução em série de potências centrada em
:
Explico o que isso significa: estamos supondo que a solução é uma função analítica em torno de
, com coeficientes
reais (ou complexos). Para usar esse método precisamos calcular
e igualar as séries dos dois lados da equação termo a termo.
Passo 3
Calcule
. Diferenciando termo a termo:
Multiplicamos por
:
Para comparar potências com
, reindexamos a soma de
. Colocando
(então
) obtemos
Agora escrevemos a igualdade da equação diferencial como igualdade de séries:
Passo 4
Igualamos coeficientes de cada potência
. Observando os termos para
e
: no lado esquerdo não há termos correspondentes (a soma começa em
), portanto as igualdades para esses
são
Para
obtemos a recorrência
Esta é a relação entre coeficientes.
Passo 5
A partir da recorrência e das condições iniciais dos coeficientes, calculamos alguns termos:
e em seguida por indução cada
para
também é zero porque depende do coeficiente anterior que já é zero. Assim todos os coeficientes são zero:
Conclusão do método em série: a única solução em série de potências com centro em
é a solução trivial
Passo 6
Agora resolvemos a equação diretamente por métodos elementares. Reescrevemos a equação como
Trata-se de uma equação de separação de variáveis. Se
on the interval considered, podemos separar:
Integramos ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
Além disso,
é solução isolada (a constante zero). Então a solução geral (em cada intervalo que não contém
) é
Passo 7
Agora explicamos a discrepância: o método da série em torno de
deu apenas
, enquanto a solução direta fornece a família
(além da trivial). Por que isso acontece?\n
Pontos essenciais a entender:\n
Pontos essenciais a entender:\n
- A expansão em série de potências em torno de
pressupõe que a solução seja analítica em (isto é, pode ser escrita como com raio de convergência positivo). Mas a equação tem coeficiente singular em : o termo multiplicando é , que se anula em . Assim é um ponto singular da equação diferencial. Em pontos singulares não podemos esperar, em geral, soluções analíticas que incluam esses pontos.\n - As soluções não triviais
não são analíticas em ; elas têm um comportamento essencial como . No entanto, uma propriedade importante é que tende a muito mais rápido que qualquer potência de quando . Por isso, se estendermos a função definindo , obtemos uma função suave (infinitamente diferenciável) em com todas as derivadas em iguais a zero. Consequentemente, a série de Taylor (série de potências) de em é a série identicamente zero.\n - Um esboço do argumento de que todas as derivadas em
são zero: para temos
Uma derivação repetida produz expressões da forma
onde
é um polinômio (essa forma pode ser provada por indução). Quando
o fator exponencial
domina e anula qualquer crescimento polinomial de
, de modo que
. Portanto
para todo
, e a série de Taylor em
é a soma de zeros, ou seja, a série identicamente
.\n
4. Em suma: o método da série encontrou apenas a expansão de Taylor em . Todas as soluções
têm Taylor em
igual a
; por isso o método em potências (centrado em
) retorna apenas a solução trivial. Não há contradição real: existe sim a família de soluções
para
, mas elas não são representáveis por uma série de potências em torno de
com termos
(exceto pela série nula).
4. Em suma: o método da série encontrou apenas a expansão de Taylor em
Passo 8
Comentário prático para prova: quando o ponto em torno do qual você tenta expandir (aqui
) é um ponto singular (coeficiente de
igual a zero aí), sempre desconfie. O método das séries de potências pode dar só a solução analítica (se existir), e soluções não-analíticas (por exemplo com comportamento
) serão perdidas por esse método — embora existam de fato. Para detectar isso, verifique se o ponto é singular e, se for, tente resolver diretamente ou procurar séries de Frobenius / expansões em potências fracionárias / séries de Laurent, conforme o caso.
Resposta
Solução série em torno de
:
.\n
Solução geral (direta, para ):
(e a solução trivial
).\n
Explicação da discrepância: é ponto singular; as soluções não-triviais não são analíticas em
e têm Taylor em
identicamente zero, por isso o método da série de potências centrada em
só encontra a solução nula.
Solução geral (direta, para
Explicação da discrepância: