Consider the following differential equations:
(b) x^{2} y^{\prime}=y.
In each case, find a power series solution of the form \sum a_{n} x^{n}, solve the equation directly, and explain any discrepancies that arise.

Passo 1

O enunciado pede, para a equação \;x^{2}y' = y:\n
  1. Encontrar uma solução em série de potências da forma \sum a_{n}x^{n} (série em torno de x=0).\n
  2. Resolver a equação diretamente (método analítico).\n
  3. Explicar quaisquer discrepâncias entre as soluções obtidas pelos dois métodos.\n
    Informações dadas: a equação diferencial é \;x^{2}y' = y. Não foram dadas condições iniciais; devemos trabalhar de forma geral.

Passo 2

Assumimos uma solução em série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}.
Explico o que isso significa: estamos supondo que a solução é uma função analítica em torno de x=0, com coeficientes a_n reais (ou complexos). Para usar esse método precisamos calcular y' e igualar as séries dos dois lados da equação termo a termo.

Passo 3

Calcule y'. Diferenciando termo a termo:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}.
Multiplicamos por x^{2}:
x^{2}y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n+1}.
Para comparar potências com y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}, reindexamos a soma de x^{2}y'. Colocando m=n+1 (então n=m-1) obtemos
x^{2}y'(x)=\sum_{m=2}^{\infty} (m-1) a_{m-1} x^{m}.
Agora escrevemos a igualdade da equação diferencial como igualdade de séries:
\sum_{m=2}^{\infty} (m-1) a_{m-1} x^{m} \;=\; \sum_{m=0}^{\infty} a_{m} x^{m}.

Passo 4

Igualamos coeficientes de cada potência x^{m}. Observando os termos para m=0 e m=1: no lado esquerdo não há termos correspondentes (a soma começa em m=2), portanto as igualdades para esses m são
a_{0}=0,\qquad a_{1}=0.
Para m\ge 2 obtemos a recorrência
(m-1) a_{m-1} = a_{m}.
Esta é a relação entre coeficientes.

Passo 5

A partir da recorrência e das condições iniciais dos coeficientes, calculamos alguns termos:
a_{2}=(2-1)a_{1}=1\cdot a_{1}=a_{1}=0,
e em seguida por indução cada a_{m} para m\ge 2 também é zero porque depende do coeficiente anterior que já é zero. Assim todos os coeficientes são zero:
a_{n}=0\quad\text{para todo }n\ge 0.
Conclusão do método em série: a única solução em série de potências com centro em 0 é a solução trivial
y(x)\equiv 0.

Passo 6

Agora resolvemos a equação diretamente por métodos elementares. Reescrevemos a equação como
y'=\frac{y}{x^{2}}\quad\text{(válido para }x\neq 0\text{)}.á
Trata-se de uma equação de separação de variáveis. Se y\neq 0 on the interval considered, podemos separar:
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x^{2}}.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int x^{-2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln|y| = -\frac{1}{x} + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
y(x) = C_{1} e^{-1/x},\qquad C_{1}= \pm e^{C}.
Além disso, y\equiv 0 é solução isolada (a constante zero). Então a solução geral (em cada intervalo que não contém 0) é
y(x)=C_{1} e^{-1/x}\quad\text{(para }x\neq 0\text{), ou }y\equiv 0.

Passo 7

Agora explicamos a discrepância: o método da série em torno de 0 deu apenas y\equiv 0, enquanto a solução direta fornece a família y=C_{1}e^{-1/x} (além da trivial). Por que isso acontece?\n
Pontos essenciais a entender:\n
  1. A expansão em série de potências em torno de 0 pressupõe que a solução seja analítica em x=0 (isto é, pode ser escrita como \sum a_n x^n com raio de convergência positivo). Mas a equação tem coeficiente singular em x=0: o termo multiplicando y' é x^2, que se anula em 0. Assim x=0 é um ponto singular da equação diferencial. Em pontos singulares não podemos esperar, em geral, soluções analíticas que incluam esses pontos.\n
  2. As soluções não triviais y=C_{1}e^{-1/x} não são analíticas em x=0; elas têm um comportamento essencial como x\to 0. No entanto, uma propriedade importante é que e^{-1/x} tende a 0 muito mais rápido que qualquer potência de x quando x\to 0^{+}. Por isso, se estendermos a função definindo y(0)=0, obtemos uma função suave (infinitamente diferenciável) em 0 com todas as derivadas em 0 iguais a zero. Consequentemente, a série de Taylor (série de potências) de y em 0 é a série identicamente zero.\n
  3. Um esboço do argumento de que todas as derivadas em 0 são zero: para x\neq 0 temos
y(x)=C_{1}e^{-1/x}.
Uma derivação repetida produz expressões da forma
y^{(n)}(x)=P_{n}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)\,e^{-1/x},
onde P_{n} é um polinômio (essa forma pode ser provada por indução). Quando x\to 0^{+} o fator exponencial e^{-1/x} domina e anula qualquer crescimento polinomial de P_{n}(1/x), de modo que \lim_{x\to 0^{+}} y^{(n)}(x)=0. Portanto \;y^{(n)}(0)=0 para todo n, e a série de Taylor em 0 é a soma de zeros, ou seja, a série identicamente 0.\n
4. Em suma: o método da série encontrou apenas a expansão de Taylor em 0. Todas as soluções C_{1}e^{-1/x} têm Taylor em 0 igual a 0; por isso o método em potências (centrado em 0) retorna apenas a solução trivial. Não há contradição real: existe sim a família de soluções C_{1}e^{-1/x} para x\neq 0, mas elas não são representáveis por uma série de potências em torno de 0 com termos x^{n} (exceto pela série nula).

Passo 8

Comentário prático para prova: quando o ponto em torno do qual você tenta expandir (aqui x=0) é um ponto singular (coeficiente de y' igual a zero aí), sempre desconfie. O método das séries de potências pode dar só a solução analítica (se existir), e soluções não-analíticas (por exemplo com comportamento e^{-1/x}) serão perdidas por esse método — embora existam de fato. Para detectar isso, verifique se o ponto é singular e, se for, tente resolver diretamente ou procurar séries de Frobenius / expansões em potências fracionárias / séries de Laurent, conforme o caso.

Resposta

Solução série em torno de 0: y(x)\equiv 0.\n
Solução geral (direta, para x\neq 0): y(x)=C_{1}e^{-1/x} (e a solução trivial y\equiv 0).\n
Explicação da discrepância: x=0 é ponto singular; as soluções não-triviais não são analíticas em 0 e têm Taylor em 0 identicamente zero, por isso o método da série de potências centrada em 0 só encontra a solução nula.

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