Para a equação do potencial elétrico dada por V=A x^{2} y z+B, determine A e B para as seguintes situações:
V=0 na origem e |\vec{E}|=20 \mathrm{~V} / \mathrm{m} em (2,-1,5);

Passo 1

O enunciado dá a expressão do potencial elétrico
V = A x^{2} y z + B
e pede para determinar A e B sabendo duas condições:
  • V=0 na origem (0,0,0).
  • O módulo do campo elétrico é |\vec{E}|=20\\ \mathrm{V/m} no ponto (2,-1,5).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
V(x,y,z)=A x^{2} y z + B,
V(0,0,0)=0,
|\vec{E}(2,-1,5)|=20\\ \mathrm{V/m}.

Passo 2

Ligação entre potencial elétrico e campo elétrico — conceito que vamos usar:
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de V em relação a x, y e z:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\\ \frac{\partial V}{\partial y},\\ \frac{\partial V}{\partial z}\right).
Explicando rapidinho: a derivada parcial \frac{\partial V}{\partial x} mede como V varia quando mexemos só em x, mantendo y e z fixos. O sinal negativo na relação \vec{E}=-\nabla V significa que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de V. A função é V(x,y,z)=A x^{2} y z + B. Derivando termo a termo:
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(A x^{2} y z + B) = 2A x y z,
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(A x^{2} y z + B) = A x^{2} z,
\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(A x^{2} y z + B) = A x^{2} y.
Então o gradiente é
\nabla V = \big(2A x y z,\; A x^{2} z,\; A x^{2} y\big).
E, portanto,
\vec{E} = -\nabla V = \big(-2A x y z,\; -A x^{2} z,\; -A x^{2} y\big).

Passo 4

Usando a condição V=0 na origem (0,0,0). Substituímos x=0, y=0, z=0 em V:
V(0,0,0)=A\cdot 0^{2}\cdot 0\cdot 0 + B = B.
Como V(0,0,0)=0, segue que
B=0.

Passo 5

Agora usamos a condição sobre |\vec{E}| no ponto (2,-1,5). Primeiro avalio as componentes do campo em termos de A (já com B=0 sabendo que B não aparece nas derivadas):
Da expressão correta para \vec{E} = -\nabla V temos, avaliando as derivadas primeiro:
\frac{\partial V}{\partial x}\bigg|_{(2,-1,5)} = 2A\cdot 2\cdot(-1)\cdot 5 = 2A\cdot(-10) = -20A,
\frac{\partial V}{\partial y}\bigg|_{(2,-1,5)} = A\cdot 2^{2}\cdot 5 = A\cdot 4\cdot 5 = 20A,
\frac{\partial V}{\partial z}\bigg|_{(2,-1,5)} = A\cdot 2^{2}\cdot(-1) = A\cdot 4\cdot(-1) = -4A.
Agora \vec{E} = -\nabla V dá as componentes do campo elétrico no ponto:
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}\bigg|_{(2,-1,5)} = -(-20A)=20A,
E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}\bigg|_{(2,-1,5)} = -20A,
E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}\bigg|_{(2,-1,5)} = -(-4A)=4A.
Portanto
\vec{E}(2,-1,5) = \big(20A,\\\ -20A,\\\ 4A\big).

Passo 6

Agora calculamos o módulo de \vec{E} e igualamos a 20\\ \mathrm{V/m}.
O módulo é
|\vec{E}| = \sqrt{(20A)^{2} + (-20A)^{2} + (4A)^{2}}.
Calculando cada quadrado:
(20A)^{2}=400A^{2},\quad (-20A)^{2}=400A^{2},\quad (4A)^{2}=16A^{2}.
Somando:
|\vec{E}| = \sqrt{400A^{2} + 400A^{2} + 16A^{2}} = \sqrt{816A^{2}} = |A|\sqrt{816}.
Fatorando \sqrt{816}:
816 = 16\cdot 51 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{816}=4\sqrt{51},
portanto
|\vec{E}| = 4|A|\sqrt{51}.
A condição do enunciado é |\vec{E}|=20, então
4|A|\sqrt{51}=20.
Isolando |A|:
|A| = \frac{20}{4\sqrt{51}} = \frac{5}{\sqrt{51}}.
Isso nos dá duas possibilidades para A (positivo ou negativo), pois só conhecemos o módulo:
A = \pm \frac{5}{\sqrt{51}}.

Passo 7

Resumo final (já achamos B no passo 4 e A no passo 6):
B=0,\qquad A=\pm \frac{5}{\sqrt{51}}.

Resposta

\displaystyle A=\pm\frac{5}{\sqrt{51}}
\displaystyle B=0

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