Para a equação do potencial elétrico dada por V=A x^{2} y z+B, determine A e B para as seguintes situações: V=0 na origem e |\vec{E}|=20 \mathrm{~V} / \mathrm{m} em (2,-1,5);
Passo 1
O enunciado dá a expressão do potencial elétrico
V = A x^{2} y z + B
e pede para determinar A e B sabendo duas condições:
V=0 na origem (0,0,0).
O módulo do campo elétrico é |\vec{E}|=20\\ \mathrm{V/m} no ponto (2,-1,5).
Dados relevantes extraídos do enunciado:
V(x,y,z)=A x^{2} y z + B,
V(0,0,0)=0,
|\vec{E}(2,-1,5)|=20\\ \mathrm{V/m}.
Passo 2
Ligação entre potencial elétrico e campo elétrico — conceito que vamos usar:
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui \nabla V é o gradiente de V, que é o vetor formado pelas derivadas parciais de V em relação a x, y e z:
Explicando rapidinho: a derivada parcial \frac{\partial V}{\partial x} mede como V varia quando mexemos só em x, mantendo y e z fixos. O sinal negativo na relação \vec{E}=-\nabla V significa que o campo aponta na direção de maior queda do potencial.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de V. A função é V(x,y,z)=A x^{2} y z + B. Derivando termo a termo:
\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(A x^{2} y z + B) = 2A x y z,
\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(A x^{2} y z + B) = A x^{2} z,
\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(A x^{2} y z + B) = A x^{2} y.
Então o gradiente é
\nabla V = \big(2A x y z,\; A x^{2} z,\; A x^{2} y\big).
E, portanto,
\vec{E} = -\nabla V = \big(-2A x y z,\; -A x^{2} z,\; -A x^{2} y\big).
Passo 4
Usando a condição V=0 na origem (0,0,0). Substituímos x=0, y=0, z=0 em V:
V(0,0,0)=A\cdot 0^{2}\cdot 0\cdot 0 + B = B.
Como V(0,0,0)=0, segue que
B=0.
Passo 5
Agora usamos a condição sobre |\vec{E}| no ponto (2,-1,5). Primeiro avalio as componentes do campo em termos de A (já com B=0 sabendo que B não aparece nas derivadas):
Da expressão correta para \vec{E} = -\nabla V temos, avaliando as derivadas primeiro: