Para a equação do potencial elétrico dada por V=A x^{2} y z+B, determine A e B para as seguintes situações:
V=0 em (2,-1,5) e V=100 na origem;

Passo 1

O enunciado dá a expressão do potencial elétrico
V = A x^{2} y z + B
e pede para determinar as constantes A e B usando as duas condições:
V=0\text{ em }(2,-1,5)
V=100\text{ na origem }(0,0,0)
Lista das informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Equação geral: }V = A x^{2} y z + B,\\\ &\text{Ponto 1: }(x,y,z)=(2,-1,5)\text{ com }V=0,\\\ &\text{Ponto 2: }(x,y,z)=(0,0,0)\text{ com }V=100. \end{aligned}çã

Passo 2

Estratégia (passo a passo simples): como temos duas constantes desconhecidas A e B, precisamos de duas equações. Cada condição (valor de V em um ponto) gera uma equação ao substituir as coordenadas x,y,z na expressão de V. Depois resolvemos o sistema de duas equações lineares em A e B. Vou fazer isso substituindo cada ponto na fórmula e resolver as equações resultantes.

Passo 3

Uso da condição no ponto origem (0,0,0) com V=100.
Substituindo (x,y,z)=(0,0,0) em V = A x^{2} y z + B temos
V = A\cdot 0^{2}\cdot 0\cdot 0 + B = A\cdot 0 + B = B.
Pela condição, V=100 na origem, logo
B = 100.
Explicação curta: qualquer produto que contenha um fator zero vira zero, portanto a parte dependente de A some e sobra apenas B.

Passo 4

Uso da condição no ponto (2,-1,5) com V=0.
Primeiro calculo o produto x^{2} y z em (2,-1,5):
x^{2} = 2^{2} = 4,
4\cdot y = 4\cdot(-1) = -4,
-4\cdot z = -4\cdot 5 = -20.
Portanto em (2,-1,5) temos x^{2} y z = -20.
Substituindo na expressão de V:
V = A\cdot(-20) + B.
Pela condição, V=0 nesse ponto, então
-20A + B = 0.
Agora substituo o valor já encontrado de B (do Passo 3), isto é B=100:
-20A + 100 = 0.

Passo 5

Resolvo a equação para A:
-20A + 100 = 0 \implies -20A = -100 \implies A = \frac{-100}{-20} = 5.
Cheque rápido (verificação): com A=5 e B=100,
V(2,-1,5) = 5\cdot(-20) + 100 = -100 + 100 = 0,
V(0,0,0) = 100.
Está consistente com as condições dadas.

Resposta

A=5
B=100

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