Consider the hypothesis test H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} against H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}. Suppose that sample sizes n_{1}=10 and n_{2}=10, that \bar{x}_{1}=7.8 and \bar{x}_{2}=5.6, and that s_{1}^{2}=4 and s_{2}^{2}=9. Assume that \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} and that the data are drawn from normal distributions. Use \alpha=0.05.
Test the hypothesis and find the P-value.

Passo 1

O enunciado pede que testemos as hipóteses
H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{versus}\quad H_{1}: \mu_{1}\neq\mu_{2}
usando nível de significância \alpha=0,05. Dados fornecidos:
n_{1}=10,\quad n_{2}=10,
\bar{x}_{1}=7,8,\quad \bar{x}_{2}=5,6,
s_{1}^{2}=4,\quad s_{2}^{2}=9.
Foi assumido que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} e que as amostras vêm de distribuições normais. Precisamos decidir se rejeitamos H_{0} e calcular o P-valor.

Passo 2

Escolha do teste e ideia principal (explicação didática): como foi assumida igualdade das variâncias verdadeiras \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}, usamos o teste t para duas amostras com variâncias iguais, que utiliza a variância agrupada (pooled variance). A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{s_{p}\sqrt{\dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}}}},
onde s_{p}^{2} é a variância agrupada calculada como média ponderada das variâncias amostrais:
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x}_{1},\bar{x}_{2}: médias amostrais (dadas);
  • s_{1}^{2},s_{2}^{2}: variâncias amostrais (dadas);
  • n_{1},n_{2}: tamanhos das amostras (dadas);
  • s_{p}: desvio padrão agrupado, s_{p}=\sqrt{s_{p}^{2}};
  • t: estatística que, sob H_{0}, segue a distribuição t com n_{1}+n_{2}-2 graus de liberdade.

Passo 3

Calcular a variância agrupada s_{p}^{2}. Substituindo os valores:
s_{p}^{2}=\frac{(10-1)\cdot 4+(10-1)\cdot 9}{10+10-2}.
Calcule os numeradores separadamente: (10-1)\cdot 4=9\cdot 4=36 e (10-1)\cdot 9=9\cdot 9=81. Então
s_{p}^{2}=\frac{36+81}{18}=\frac{117}{18}=6,5.

Passo 4

Calcular o desvio padrão agrupado s_{p}:
s_{p}=\sqrt{6,5}\approx 2,5495.
(Mesma unidade das variáveis; mantemos 4 casas decimais para precisão das contas manuais.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da diferença das médias:
\text{SE}=s_{p}\sqrt{\dfrac{1}{n_{1}}+\dfrac{1}{n_{2}}}.
Como 1/n_{1}+1/n_{2}=1/10+1/10=0,2, temos
\text{SE}=2,5495\cdot\sqrt{0,2}=2,5495\cdot 0,4472136\approx 1,1394.
Explanação: o erro padrão mede a variabilidade esperada da diferença \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} devido ao acaso.

Passo 6

Calcular a estatística t. A diferença das médias é \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=7,8-5,6=2,2. Logo
t=\frac{2,2}{1,1394}\approx 1,9305\approx 1,93.
Graus de liberdade:
\nu = n_{1}+n_{2}-2=10+10-2=18.

Passo 7

Decisão com base no valor crítico: para teste bilateral com \alpha=0,05 e \nu=18, o valor crítico é
t_{0,975,18}\approx 2,1009.
Como |t|=1,93<2,1009, não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,05. Em palavras: a diferença observada entre as médias não é estatisticamente significativa ao nível de 5\%.

Passo 8

Cálculo do P-valor (explicação e aproximação): o P-valor para teste bilateral é
\text{p-valor}=2\cdot\bigl(1-F_{t,\nu}(|t|)\bigr),
onde F_{t,\nu} é a função de distribuição acumulada da t com \nu graus de liberdade. Usando tabelas de t ou calculadora estatística para \nu=18 e |t|=1,9305 obtém-se aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0,07.
Interpretação: esse P-valor (≈ 0,07) é maior que \alpha=0,05, o que confirma a decisão de não rejeitar H_{0}. Observação: tabelas de mão dão intervalos (por ex. para t=1,734 o p-valor bilateral é 0,10 e para t=2,101 é 0,05); nosso t está entre esses valores, resultando em p entre 0,05 e 0,10, aqui aproximadamente 0,07.

Resposta

Não rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0,05.
p-valor \approx 0,07.

Exercícios relacionados