Consider the hypothesis test
against
. Suppose that sample sizes
and
, that
and
, and that
and
. Assume that
and that the data are drawn from normal distributions. Use
.
Test the hypothesis and find the
-value.
Test the hypothesis and find the
Passo 1
O enunciado pede que testemos as hipóteses
usando nível de significância
. Dados fornecidos:
Foi assumido que
e que as amostras vêm de distribuições normais. Precisamos decidir se rejeitamos
e calcular o
-valor.
Passo 2
Escolha do teste e ideia principal (explicação didática): como foi assumida igualdade das variâncias verdadeiras
, usamos o teste
para duas amostras com variâncias iguais, que utiliza a variância agrupada (pooled variance). A estatística de teste é
onde
é a variância agrupada calculada como média ponderada das variâncias amostrais:
Explicando cada símbolo:
-
: médias amostrais (dadas); -
: variâncias amostrais (dadas); -
: tamanhos das amostras (dadas); -
: desvio padrão agrupado, ; -
: estatística que, sob , segue a distribuição com graus de liberdade.
Passo 3
Calcular a variância agrupada
. Substituindo os valores:
Calcule os numeradores separadamente:
e
. Então
Passo 4
Calcular o desvio padrão agrupado
:
(Mesma unidade das variáveis; mantemos 4 casas decimais para precisão das contas manuais.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da diferença das médias:
Como
, temos
Explanação: o erro padrão mede a variabilidade esperada da diferença
devido ao acaso.
Passo 6
Calcular a estatística
. A diferença das médias é
. Logo
Graus de liberdade:
Passo 7
Decisão com base no valor crítico: para teste bilateral com
e
, o valor crítico é
Como
, não rejeitamos
ao nível
. Em palavras: a diferença observada entre as médias não é estatisticamente significativa ao nível de
.
Passo 8
Cálculo do
-valor (explicação e aproximação): o
-valor para teste bilateral é
onde
é a função de distribuição acumulada da
com
graus de liberdade. Usando tabelas de
ou calculadora estatística para
e
obtém-se aproximadamente
Interpretação: esse
-valor (≈
) é maior que
, o que confirma a decisão de não rejeitar
. Observação: tabelas de mão dão intervalos (por ex. para
o
-valor bilateral é
e para
é
); nosso
está entre esses valores, resultando em
entre
e
, aqui aproximadamente
.
Resposta
Não rejeitar
ao nível
.
p-valor .
p-valor