\uparrow Two chemical companies can supply a raw material. The concentration of a particular element in this material is important. The mean concentration for both suppliers is the same, but you suspect that the variability in concentration may differ for the two companies. The standard deviation of concentration in a random sample of n_{1}=10 batches produced by company 1 is s_{1}=4.7 grams per liter, and for company 2 , a random sample of n_{2}=16 batches yields s_{2}=5.8 grams per liter. Is there sufficient evidence to conclude that the two population variances differ? Use \alpha=0.05.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se há evidência de que as variâncias populacionais dos dois fornecedores são diferentes, ao nível de significância \alpha=0,05.
Dados fornecidos:
n_{1}=10,\quad s_{1}=4,7\\ (\text{g/L});
n_{2}=16,\quad s_{2}=5,8\\ (\text{g/L}).
Pergunta explícita: “Há evidência suficiente para concluir que as variâncias populacionais são diferentes?” (teste bilateral, \alpha=0,05).

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (teste F para igualdade de variâncias, bilateral):
H_{0}:\\ \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}
H_{1}:\\ \sigma_{1}^{2}\neq\sigma_{2}^{2}
Explicação curta: o teste compara a razão entre estimadores das variâncias amostrais. Se as variâncias amostrais diferirem muito além do esperado por variação amostral sob H_{0}, rejeitamos H_{0}.

Passo 3

Escolha do estatístico de teste e graus de liberdade. O estatístico clássico é
F=\frac{s_{\text{maior}}^{2}}{s_{\text{menor}}^{2}}
para facilitar a comparação com as tabelas (assim F\ge 1). Os graus de liberdade correspondentes são \text{df}_{1}=n_{\text{maior}}-1 no numerador e \text{df}_{2}=n_{\text{menor}}-1 no denominador. Aqui s_{2}>s_{1}, então usamos:
F=\frac{s_{2}^{2}}{s_{1}^{2}},\qquad \text{df}_{1}=n_{2}-1=15,\qquad \text{df}_{2}=n_{1}-1=9.
Comentário didático: por que colocar a maior variância no numerador? Assim o valor de F fica \ge 1 e usamos uma única cauda superior para o caso bilateral (o p-valor bilateral será 2\times a probabilidade de cauda superior).

Passo 4

Calcule as variâncias amostrais e o valor numérico do estatístico:
s_{1}^{2}=(4,7)^{2}=22,09,
s_{2}^{2}=(5,8)^{2}=33,64.
Logo
F=\frac{33,64}{22,09}\approx 1,523.
Explicação: calculei s^{2} elevando as desviões padrão amostrais ao quadrado; depois dividi para obter F.

Passo 5

Decisão pelo p-valor (método didático e prático). Para o teste bilateral, com o nosso procedimento (maior variância no numerador), o p-valor é
\text{p-valor}=2\cdot P\big(F_{(15,9)}\ge F_{\text{obs}}\big)=2\cdot\big(1 - F_{F(15,9)}(1,523)\big),
onde F_{F(15,9)}(x) é a função de distribuição acumulada da variável F com (15,9) graus de liberdade. Interpretando: multiplicamos por 2 porque o teste é bilateral (poderíamos também trabalhar com a razão invertida e tabelas simétricas). Usando uma calculadora estatística (ou tabela/soft), obtemos aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0,38.
Breve justificativa numérica: o valor 1,523 não é grande o suficiente, dado \text{df}_{1}=15,\\ \text{df}_{2}=9, para cair na região de rejeição de nível 5\%; a probabilidade de observar uma razão tão grande (ou maior) sob H_{0} é cerca de 0,19 numa cauda, daí duas caudas dão \approx 0,38.

Passo 6

Conclusão do teste. Como o \text{p-valor}\approx 0,38 é bem maior que \alpha=0,05, não rejeitamos H_{0}. Interpretação em linguagem natural e motivadora: com essas amostras não há evidência suficiente para afirmar que as variâncias dos dois fornecedores são diferentes — a diferença observada entre s_{1} e s_{2} pode ser atribuída à variação amostral esperada quando as variâncias verdadeiras são iguais.

Resposta

Não há evidência suficiente para concluir que as variâncias populacionais differem; não rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0,05.

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