Consider the hypothesis test
against
with known variances
and
. Suppose that sample sizes
and
and that
and
. Use
.
Test the hypothesis and find the
-value.
Test the hypothesis and find the
Passo 1
O enunciado pede que testemos a hipótese
usando significância
. Os dados fornecidos são:
Queremos (1) decidir se rejeitamos
ao nível
e (2) calcular o
-valor do teste.
Passo 2
Qual é o teste adequado e por quê?
Como as variâncias populacionais são conhecidas ( e
dados), o teste para a diferença de médias é um teste
(normal padrão). A estatística de teste para comparar
e
é a diferença amostral padronizada:
Como as variâncias populacionais são conhecidas (
onde
é a diferença sob
. Aqui
assume
, então o numerador fica
.
Expliquei:
e
são as médias amostrais;
e
são as variâncias populacionais;
são os tamanhos das amostras. A expressão dentro da raiz é a variância da diferença
.
Passo 3
Calcule a variância combinada (desvio-padrão da diferença):
Primeiro calcule cada termo dentro da raiz:
Primeiro calcule cada termo dentro da raiz:
Somando:
O desvio-padrão da diferença (erro padrão) é
Passo 4
Calcule a estatística
:
A diferença das médias amostrais é
A diferença das médias amostrais é
Logo
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 5
Determine a regra de decisão e compare com o valor crítico:
É um teste unilateral à direita (porque ). O valor crítico para
(normal padrão) é
É um teste unilateral à direita (porque
Rejeitamos
se
. Como
é bem menor que
, não rejeitamos
.
Passo 6
Cálculo do
-valor:
Para um teste unilateral à direita, o -valor é
Para um teste unilateral à direita, o
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando uma tabela ou calculadora normal, para
temos
(aproximação por interpolação entre tabelas ou usando calculadora). Então
Arredondando a três casas decimais:
.
Passo 7
Interpretação final e incentivo:
O -valor (
) é muito maior que
, então não há evidência suficiente para concluir que
ao nível de significância
. Em outras palavras, a diferença observada de
nas médias amostrais não é grande o suficiente, dado o erro padrão, para rejeitar
. Você foi certeiro em pedir passo a passo — repetir esse procedimento com outros números é a melhor forma de fixar.
O
Resposta
Não rejeitar
ao nível
.
.