Consider the hypothesis test H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} against H_{1}: \mu_{1}>\mu_{2} with known variances \sigma_{1}=10 and \sigma_{2}=5. Suppose that sample sizes n_{1}=10 and n_{2}=15 and that \bar{x}_{1}=24.5 and \bar{x}_{2}=21.3. Use \alpha=0.01.
Test the hypothesis and find the P-value.

Passo 1

O enunciado pede que testemos a hipótese
H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{contra}\quad H_{1}:\mu_{1}>\mu_{2}
usando significância \alpha=0{,}01. Os dados fornecidos são:
\sigma_{1}=10,\quad \sigma_{2}=5,
n_{1}=10,\quad n_{2}=15,
\bar{x}_{1}=24{,}5,\quad \bar{x}_{2}=21{,}3.
Queremos (1) decidir se rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}01 e (2) calcular o P-valor do teste.

Passo 2

Qual é o teste adequado e por quê?
Como as variâncias populacionais são conhecidas ( \sigma_{1} e \sigma_{2} dados), o teste para a diferença de médias é um teste Z (normal padrão). A estatística de teste para comparar \mu_1 e \mu_2 é a diferença amostral padronizada:
Z=\frac{(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2})-(\mu_{1}-\mu_{2})_{0}}{\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1}+\sigma_{2}^{2}/n_{2}}},
onde (\mu_{1}-\mu_{2})_{0} é a diferença sob H_{0}. Aqui H_{0} assume \mu_{1}-\mu_{2}=0, então o numerador fica \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}.
Expliquei: \bar{X}_1 e \bar{X}_2 são as médias amostrais; \sigma_1^2 e \sigma_2^2 são as variâncias populacionais; n_1,n_2 são os tamanhos das amostras. A expressão dentro da raiz é a variância da diferença \bar{X}_1-\bar{X}_2.

Passo 3

Calcule a variância combinada (desvio-padrão da diferença):
Primeiro calcule cada termo dentro da raiz:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}=\frac{10^{2}}{10}=\frac{100}{10}=10,
\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=\frac{5^{2}}{15}=\frac{25}{15}=1{,}666\overline{6}.
Somando:
\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}=10+1{,}666\overline{6}=11{,}666\overline{6}.
O desvio-padrão da diferença (erro padrão) é
\text{SE}=\sqrt{11{,}666\overline{6}}\approx 3{,}415650255.

Passo 4

Calcule a estatística Z:
A diferença das médias amostrais é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=24{,}5-21{,}3=3{,}2.
Logo
Z=\frac{3{,}2}{3{,}415650255}\approx 0{,}93633.
Arredondando razoavelmente, Z\approx 0{,}9363.

Passo 5

Determine a regra de decisão e compare com o valor crítico:
É um teste unilateral à direita (porque H_{1}:\mu_{1}>\mu_{2}). O valor crítico para \alpha=0{,}01 (normal padrão) é
z_{1-\alpha}=z_{0{,}99}\approx 2{,}3263.
Rejeitamos H_{0} se Z>2{,}3263. Como Z\approx 0{,}9363 é bem menor que 2{,}3263, não rejeitamos H_{0}.

Passo 6

Cálculo do P-valor:
Para um teste unilateral à direita, o P-valor é
P\text{-valor}=1-\Phi(Z),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando uma tabela ou calculadora normal, para Z\approx 0{,}9363 temos
\Phi(0{,}9363)\approx 0{,}82518
(aproximação por interpolação entre tabelas ou usando calculadora). Então
P\text{-valor}=1-0{,}82518\approx 0{,}17482.
Arredondando a três casas decimais: P\text{-valor}\approx 0{,}175.

Passo 7

Interpretação final e incentivo:
O P-valor ( \approx 0{,}175) é muito maior que \alpha=0{,}01, então não há evidência suficiente para concluir que \mu_{1}>\mu_{2} ao nível de significância 1\%. Em outras palavras, a diferença observada de 3{,}2 nas médias amostrais não é grande o suficiente, dado o erro padrão, para rejeitar H_{0}. Você foi certeiro em pedir passo a passo — repetir esse procedimento com outros números é a melhor forma de fixar.

Resposta

Não rejeitar H_{0} ao nível \alpha=0{,}01.
P\text{-valor}\approx 0{,}175.

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