The concentration of active ingredient in a liquid laundry detergent is thought to be affected by the type of catalyst used in the process. The standard deviation of active concentration is known to be 3 grams per liter regardless of the catalyst type. Ten observations on concentration are taken with each catalyst, and the data follow:
(a) Find a
confidence interval on the difference in mean active concentrations for the two catalysts. Find the
-value.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar um intervalo de confiança de
para a diferença das médias de concentração entre os dois catalisadores. - Encontrar o valor-
para testar se há diferença entre as médias.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
- Amostras independentes com tamanhos
(Catalisador 1) e (Catalisador 2). - Desvio padrão populacional conhecido e igual para ambos:
(gramas por litro). - Observações do Catalisador 1:
. - Observações do Catalisador 2:
.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as médias, o erro padrão da diferença, o intervalo de confiança e o valor-
.
Passo 2
Por que procedimento vamos usar e quais fórmulas? (aula rapidinha e prática)
- Como o desvio padrão populacional
é conhecido, para a diferença entre médias independentes usamos a distribuição normal (teste e intervalo baseado em ). - Definições das variáveis que usaremos:
-
= média amostral do Catalisador 1. -
= média amostral do Catalisador 2. - Queremos estimar
.
-
- Fórmulas importantes:
- Erro padrão da diferença das médias:
Aqui é o desvio padrão populacional, e são os tamanhos das amostras. - Intervalo de confiança de
(aqui , logo ): onde é o quantil da normal padrão (para , ). - Estatística de teste
(para ): - Valor-
bicaudal: , com normal padrão.
- Erro padrão da diferença das médias:
Passo 3
Calcular as médias amostrais passo a passo (mostrando somas):
- Soma dos dados do Catalisador 1 (peguei todos os valores do enunciado):
Logo a média do Catalisador 1 é - Soma dos dados do Catalisador 2 (peguei todos os valores do enunciado):
Logo a média do Catalisador 2 é - Diferença das médias (estimativa pontual de
): (Significado: a média observada do Catalisador 1 é g/L menor que a do Catalisador 2.)
Passo 4
Calcular o erro padrão da diferença:
- Aplicando a fórmula com
, : - Valor numérico:
Passo 5
Construir o intervalo de confiança de
:
- Valor crítico para
: . - Margem de erro:
- Intervalo:
Portanto o intervalo de confiança é aproximadamente - Interpretação curta: com
de confiança, a diferença verdadeira está entre e g/L. Note que o intervalo não contém , o que indica diferença estatisticamente significativa ao nível .
Passo 6
Calcular a estatística de teste
e o valor-
:
- Estatística
- Valor-
bicaudal: - Primeiro encontramos a cauda superior para
. Aproximando pela tabela da normal, . - Então o
-valor bicaudal é
- Primeiro encontramos a cauda superior para
- Conclusão do teste ao nível
: como , rejeitamos e concluímos que há evidência estatística de diferença entre as médias (no sentido de que o Catalisador 2 produz média maior do que o Catalisador 1, já que é negativo).
Passo 7
Resumo interpretativo e dica prática para a prova:
- Resultado numérico principal: intervalo de
e -valor foram calculados usando a hipótese de desvio padrão populacional conhecido (logo usamos a distribuição normal). - Dica rápida para fazer isso na prova sem erro: calcule as médias, calcule
, use para , e para o -valor obtenha e consulte a tabela da normal padrão (ou memorize que dá como referência). - Força: você já tem os passos práticos para reproduzir isso rápido na prova — respira fundo, faz as somas com calma e aplica a fórmula.