\boldsymbol{+} The concentration of active ingredient in a liquid laundry detergent is thought to be affected by the type of catalyst used in the process. The standard deviation of active concentration is known to be 3 grams per liter regardless of the catalyst type. Ten observations on concentration are taken with each catalyst, and the data follow:
\begin{aligned} \text { Catalyst } 1: & 57.9,66.2,65.4,65.4,65.2,62.6,67.6,63.7, \\\ & 67.2,71.0 \\\ \text { Catalyst } 2: & 66.4,71.7,70.3,69.3,64.8,69.6,68.6,69.4, \\\ & 65.3,68.8 \end{aligned}
(a) Find a 95 \% confidence interval on the difference in mean active concentrations for the two catalysts. Find the P-value.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar um intervalo de confiança de 95\% para a diferença das médias de concentração entre os dois catalisadores.
  • Encontrar o valor- P para testar se há diferença entre as médias.
Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
  • Amostras independentes com tamanhos n_1=10 (Catalisador 1) e n_2=10 (Catalisador 2).
  • Desvio padrão populacional conhecido e igual para ambos: \sigma=3 (gramas por litro).
  • Observações do Catalisador 1: 57,9,\;66,2,\;65,4,\;65,4,\;65,2,\;62,6,\;67,6,\;63,7,\;67,2,\;71,0.
  • Observações do Catalisador 2: 66,4,\;71,7,\;70,3,\;69,3,\;64,8,\;69,6,\;68,6,\;69,4,\;65,3,\;68,8.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as médias, o erro padrão da diferença, o intervalo de confiança e o valor- P.

Passo 2

Por que procedimento vamos usar e quais fórmulas? (aula rapidinha e prática)
  • Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido, para a diferença entre médias independentes usamos a distribuição normal (teste z e intervalo baseado em z).
  • Definições das variáveis que usaremos:
    • \bar{x}_1 = média amostral do Catalisador 1.
    • \bar{x}_2 = média amostral do Catalisador 2.
    • Queremos estimar \mu_1-\mu_2.
  • Fórmulas importantes:
    • Erro padrão da diferença das médias: \mathrm{SE}(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=\sqrt{\frac{\sigma^{2}}{n_1}+\frac{\sigma^{2}}{n_2}}.Aqui \sigma é o desvio padrão populacional, n_1 e n_2 são os tamanhos das amostras.
    • Intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% (aqui 95\%, logo \alpha=0,05): (\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{1-\alpha/2}\cdot \mathrm{SE}(\bar{x}_1-\bar{x}_2),onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (para 95\%, z_{0,975}=1,96).
    • Estatística de teste z (para H_0:\mu_1-\mu_2=0): z=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2-0}{\mathrm{SE}(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}.
    • Valor- P bicaudal: P\text{-valor}=2\cdot P(Z\ge |z|), com Z normal padrão.

Passo 3

Calcular as médias amostrais passo a passo (mostrando somas):
  • Soma dos dados do Catalisador 1 (peguei todos os valores do enunciado): 57,9+66,2+65,4+65,4+65,2+62,6+67,6+63,7+67,2+71,0=652,2.Logo a média do Catalisador 1 é \bar{x}_1=\frac{652,2}{10}=65,22.
  • Soma dos dados do Catalisador 2 (peguei todos os valores do enunciado): 66,4+71,7+70,3+69,3+64,8+69,6+68,6+69,4+65,3+68,8=684,2.Logo a média do Catalisador 2 é \bar{x}_2=\frac{684,2}{10}=68,42.
  • Diferença das médias (estimativa pontual de \mu_1-\mu_2): \bar{x}_1-\bar{x}_2=65,22-68,42=-3,20.(Significado: a média observada do Catalisador 1 é 3,20 g/L menor que a do Catalisador 2.)

Passo 4

Calcular o erro padrão da diferença:
  • Aplicando a fórmula com \sigma=3, n_1=n_2=10: \mathrm{SE}(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=\sqrt{\frac{3^{2}}{10}+\frac{3^{2}}{10}}=\sqrt{\frac{9}{10}+\frac{9}{10}}=\sqrt{1,8}.
  • Valor numérico: \mathrm{SE}(\bar{x}_1-\bar{x}_2)=\sqrt{1,8}\approx 1,3416.

Passo 5

Construir o intervalo de confiança de 95\%:
  • Valor crítico para 95\%: z_{0,975}=1,96.
  • Margem de erro: \text{ME}=1,96\times 1,3416\approx 2,63.
  • Intervalo: (\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm \text{ME} = -3,20\pm 2,63.Portanto o intervalo de confiança é aproximadamente [-5,83,\,-0,57].
  • Interpretação curta: com 95\% de confiança, a diferença verdadeira \mu_1-\mu_2 está entre -5,83 e -0,57 g/L. Note que o intervalo não contém 0, o que indica diferença estatisticamente significativa ao nível 5\%.

Passo 6

Calcular a estatística de teste z e o valor- P:
  • Estatística z=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\mathrm{SE}(\bar{x}_1-\bar{x}_2)}=\frac{-3,20}{1,3416}\approx -2,39.
  • Valor- P bicaudal:
    • Primeiro encontramos a cauda superior para |z|=2,39. Aproximando pela tabela da normal, P(Z>2,39)\approx 0,0086.
    • Então o P-valor bicaudal é P\text{-valor}=2\times 0,0086\approx 0,017.
  • Conclusão do teste ao nível \alpha=0,05: como P\text{-valor}\approx 0,017<0,05, rejeitamos H_0 e concluímos que há evidência estatística de diferença entre as médias (no sentido de que o Catalisador 2 produz média maior do que o Catalisador 1, já que \bar{x}_1-\bar{x}_2 é negativo).

Passo 7

Resumo interpretativo e dica prática para a prova:
  • Resultado numérico principal: intervalo de 95\% e P-valor foram calculados usando a hipótese de desvio padrão populacional conhecido (logo usamos a distribuição normal).
  • Dica rápida para fazer isso na prova sem erro: calcule as médias, calcule \mathrm{SE}=\sqrt{\sigma^2/n_1+\sigma^2/n_2}, use z_{0,975}=1,96 para 95\%, e para o P-valor obtenha z e consulte a tabela da normal padrão (ou memorize que z\approx 2,33 P\approx0,02 como referência).
  • Força: você já tem os passos práticos para reproduzir isso rápido na prova — respira fundo, faz as somas com calma e aplica a fórmula.

Resposta

95\%\text{ CI para }\mu_1-\mu_2: [-5,83,\,-0,57]
P\text{-valor (bicaudal)}\approx 0,017

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